两圆相切的性质之一及判断

大家好，今天给各位分享两圆相切的性质之一及判断的一些知识，其中也会对进行解释，文章篇幅可能偏长，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在就马上开始吧！

如果两个圆恰好有一个公共点，则称它们相切。两个圆之间的相切有两种类型：内切（一个圆在另一个圆的内部）和外接（一个圆在另一个圆的外部），如下图所示。假设两个圆分别为圆O和圆O’，半径分别为R和R’。若两圆与A点相切，则：

(1) OO’=R+R’（当两个圆外接时），OO’=|R-R’| （当两个圆内接时）；

(2)O、O’、A共线；

(3) 过A的圆的正切是另一个圆的正切；

(4)若过A的直线与两圆相交于B、C； B’、C’，然后是BC//B’C’。这是因为A是两个圆的相似圆心，所以B和B’、C和C’是相似对应点，所以AB/AB’=AC/AC’，则BC//B’C’。

反之，则上述性质相反

可以确定两个圆相切，即

(1) 若确定两圆的圆心O、O\'及半径，则若OO\'=R+R\'，则两圆外接，若OO\'=|R-R\'|，则两圆外接圆圈被刻上。

(2) 若已知两圆O、O’的圆心和公共点A，且O、O’、A共线，则两圆相切。

(3) 若已知两个圆的公共点A，且一个圆过A 的切线是另一个圆的切线，则两个圆相切。

(4)过A的直线与两圆相交于B、C；乙’，丙’。如果BC//B\'C\'，则两圆与A相切。这是因为ABC和A\'B\'C\'与A的中心位置相似，所以它们的外接圆也与A有相似的中心位置。以A为位置，故两圆与A相切。

不难发现上述判断中的(2)和(3)是等价的。

这些性质和判断都很简单，但是用这些判断来确定两个圆，特别是证明三角形的外接圆与某个圆相切，一般来说是比较困难的。让我们看一下与两个圆之间的切线的性质和确定相关的一些问题。这些问题看起来相当可怕，而且很多也非常复杂。这样的问题往往是各种比赛的压轴戏。关于这个主题的文章相对较少。我写过一篇[1]，有兴趣的读者可以参考。

1.

如图所示，在ABC中，M和N是边BC上的两个不同点，使得直线AM和AN关于BAC的内角平分线对称，

证明：ABC 和AMN 与外接圆相切。 （2012年高中数学联赛几何题改造）

思路分析：

根据题意，BAM=CAN。如果两个圆相切，那么A显然是公切点。两个圆的圆心距和半径不好计算，但是圆心和切线不难确定，所以可以考虑使用上面的判断（2）（3）（4）。因此，这个问题对应的证明方法有三种，都不难解释。

证明1：

设ABC和AMN的外心为O,O\'，

根据题意BAM=CAN，则

BAO\'=BAM+MAO\'

=CAN+90-ANM

=90-(ANM-CAN)

=90-C

=宝

A,O,O\' 共线，

即ABC和AMN与外接圆相切。

证明方法二：

设AI为ABC的外接圆的切线，

根据题意BAM=CAN，则

IAN=IAC+CAN

=B+BAM

=AMC,

AI为AMN的外接圆的正切值，

即ABC和AMN与外接圆相切。

证明方法三：

假设AM、AN与ABC外接圆相交于M\'、N\'处，

根据题意BAM=CAN，则

M\'N\'//MN，

由上述判断(4)可知

AM\'N\'，AMN 与外接圆相切，

即ABC和AMN与外接圆相切。

笔记：

（1）本题结构比较简单，证明也不困难。据说是2012年全国高中数学联赛第二次考试中几何题的原始形式，后来经考官改编，证明结果改为证明A、O、O\'是共线。当然，通过上面的证明方法一，我们可以发现，适配之后难度会变得更简单。这道联赛题应该是近二十年来最简单的联赛几何题了。

（2）本题的公切点为A点，角度关系比较明确，因此适合上述判定中的（2）（3）（4）。当然，不难发现，上述三种证明方法虽然路径不同，但目的相同，最终都采用了简单的倒角完成证明。

(3)这个问题应该还有很多其他的方法来证明。相对来说，以上三种方法应该是自然简单的。

(4) 本题中AM和AN通称为BAC的等角线，是角平分线的推广。这张图中有很多有趣且复杂的属性，这里不再赘述。然而，这个问题的结论可以被视为一个重要且有用的属性。

2.

已知：如图所示，两个圆相交于两点P和R，有过P的直线l和l\'，其中l与两个圆相交于A和B，

ABR的外接圆切线在A、B处交于C，CR与AB相交于D。同理，对于直线l\'，可得A\'、B\'、C\'、D\'，

证明：DD\'P与CC\'R的外接圆相切。

（2020年Sarykin几何奥林匹克交流竞赛第8题）

思路分析：

这道题的图形比较复杂，过程也比较曲折。

基本思想是首先绘制精确的图形，探索图形的基本属性。

然后从结果开始，

找到公切点并证明该点在两个圆上，

最后证明过此点的圆的切线与另一个圆相切。

绘制出准确的图形后，

很容易找到，

AC与A\'C\'、BC与B\'C\'的交点M和N分别在两个圆上。

这种两个相交的圆的结构是常见的图形。如果你熟悉这个数字，

容易知道里面有很多个相等的角，

进一步地，AA\'、BB\'的交点L在圆RAB、RA\'B\'上，

这些都不难用倒角来证明。

让我们从结果开始吧。 DD\'P与CC\'R的外接圆相切，

谁是共同的分界点？这一点必须具有丰富性。

从下面的精确图可以看出，DPD\'R 似乎是共圆的，

为了证明这一点，我们需要证明CC\'MRN 是共圆的，

则公切点为R。

接下来我们只需证明一个圆经过R的正切就是另一个圆的正切，

通过完成倒角也可以轻松证明这一点。

这就引出了第一个证明。具体证明过程如下：

证明1：

假设AA\'在L处与BB\'相交，AC在M处与A\'C\'相交，BC在N处与B\'C\'相交，

则RBB\'=RPB\'=RAA\'，

ALBR 是余圆，A\'RB\'L 同理也是余圆。

MAP=ALB\'=MA\'P,

MAA\'P 是余圆，同样NB\'BP 是余圆。

且A\'MR=RPB\'=C\'NR，

那么C\'MRN就是一个总圆，同样C也在这个圆上。

APA\'=AMA\'=C\'MC=C\'RC=DRD\',

那么DPD\'R是共圆的。

设XY 为通过R 的圆PDD’ 的切线，

则XRC\'=YRD\'=RPB\'=RNC\'，

XR是圆RCC\'的正切。

综上所述，DD\'P和CC\'R的外接圆与R点相切。

思路分析二：

这个结构有很多等距和相似之处，

可以考虑直接通过

RABRA\'B\'证明DPD\'R是共圆的，

而这个结构体中有CRD，C\'RD\'，

所以最好用判定(4)来证明两个圆相切。

这意味着相似三角形的对应角相等，

可以通过与对应的线段成比例来求得。

证明2：

根据题意RAB=RA\'B\',RBA=RB\'A\'，

RABRA\'B\'。

由切线可知C、D与C\'、D\'是相似对应点，

RDB=RD\'B\',

那么DPD\'R是共圆的。

由类似的对应关系可知，RC/RD=RC\'/RD\'，

CC\'//DD\',

由上述判断(4)可知

DD\'P和CC\'R的外接圆与R点相切。

笔记：

（1）这是刚刚结束的今年萨雷金几何奥林匹克第一阶段交流赛的第8题。交流赛共有24道题，难度基本是递增的。这个问题被认为是一个中等范围的问题。

（2）虽然这道题的构成比较复杂，但结果却让证明两个三角形的外接圆相切看起来相当“恐怖”。不过该结构很常见，对于熟悉该结构的读者来说上手并不困难。上述证明方法是反复利用倒角得到多组共圆的四个点，最后利用上一篇的判断（3）完成证明。这是一个常见且自然的想法。熟悉完美四边形的读者很容易发现，R点就是四条直线AB、A’B’、AA’、BB’构成的完整四边形的米克点。证明方法2抓住了两个相交圆的核心属性——旋转相似度，利用相似度对应单词，直接切中要害，用判断（4）瞬间秒杀这道题。本题描述了两个相交圆最基本、最核心的性质。两种证明方法从不同角度解释了该结构的性质。两者都值得初学者学习。

（3）由于判断（2）和（3）是等价的，所以本题的证明也应该用判断（2）来完成。以后遇到类似的问题我们会尽量选择判断（3），一般不会再用判断（2）来证明。

用户评论

算了吧

感觉这篇文章讲得挺清楚的，尤其是关于两圆相切的性质和判定部分，以前学习的时候总觉得有点模糊，现在总算明白了。不过感觉例子稍微少一点，要是能再加几个不同类型的例子就更好了！

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裸睡の鱼

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軨倾词

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浮殇年华

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我个人感觉文章的理论部分讲解得不够深入，一些细节的地方没有讲清楚，比如两圆相切的判定中，不同的情况应该如何判断？如果能再详细一些就更好了。

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嗯咯

两圆相切的性质与判定一直是我学习几何的难点，看了这篇博客后，我终于弄懂了！作者的讲解真的太赞了，不仅逻辑清晰，而且语言生动，让人很容易理解。非常感谢作者的分享！

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稳妥

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我要变勇敢℅℅

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