（1）集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
（2）元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．
（1）子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A．
（2）真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．
（4）空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．
|
①一般地，我们把研究对象称为元素，把一些元素组成的总体称为集合，简称集．
②元素一般用小写字母a，b，c表示，集合一般用大写字母A，B，C表示，两者之间的关系是属于与不属于关系，符号表示如：a∈A或a∉A．
（3）根据元素的特征(满足的条件)构造关系式解决相应问题．
|
|
1-1．（2024高三·全国·专题练习）用列举法写出集合＝.
1-2．（2024高三·全国·专题练习）用适当的符号填空：
（1）πQ；（2）Z；（3）3.5N；（4）Æ{0}；（5）{0，1}R．
1-3．（2024·北京海淀·模拟预测）设集合，若，则实数m=（）
|
|
（1）若集合A与集合B的元素相同，则称集合A等于集合B．
（2）对集合A和集合B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A等于集合B，记作A＝B．就是如果A⊆B，同时B⊆A，那么就说这两个集合相等，记作A＝B．
（1）如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A⊆B；如果集合A是集合B的子集，并且B中至少有一个元素不属于A，那么集合A叫做集合B的真子集，即AB．
（2）如果集合A的每一个元素都是集合B的元素，反过来，集合B的每一个元素也都是集合A的元素，那么我们就说集合A等于集合B，即A＝B．
3．空集是任何集合的子集，在涉及集合关系问题时，必须考虑空集的情况，否则易造成漏解．
4．已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
|
|
2-2．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，若，则实数的取值范围是.
2-3．（2024高一下·重庆万州·开学考试）已知集合，集合．若，则实数．
2-4．（2023-2024学年山东省济宁市兖州区高一上学期期中考试数学试卷（带解析））已知集合，若，则实数的值为．
2-5．（2024高一上·江苏宿迁·阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值范围为.
2-6．（重庆市育才中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题）满足的集合A的个数是.
|
|
（1）由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
（2）运算形状：①A∩B＝B∩A．②A∩∅＝∅．③A∩A＝A．④A∩B⊆A，A∩B⊆B．⑤A∩B＝A⇔A⊆B．⑥A∩B＝∅，两个集合没有相同元素．⑦A∩（∁UA）＝∅．⑧∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB）．
（1）集合交换律：A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
（2）集合结合律：（A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
（3）集合分配律：A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
（4）集合的摩根律：Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
（5）集合吸收律：A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
（6）集合求补律：A∪CuA＝U，A∩CuA＝∅．
（1）对于集合的交、并、补运算，如果集合中的元素是离散的，可用Venn图表示．
（2）如果集合中的元素是连续的，可用数轴表示，此时要注意端点的情况．
|
|
3-1．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）设全集，集合，，则=（）
3-2．（2024高三·全国·专题练习）已知全集，，则；
3-3．（2024高三·全国·专题练习）已知，集合，，若只有一个元素，则满足的关系为.
3-4．（2024高三·全国·专题练习）已知，集合，，若，则实数的取值范围是.
3-5．（2024高三上·全国·阶段练习）已知集合，．若，则实数k的取值范围是．
3-6．（2024高一上·吉林白城·阶段练习）已知集合若，则实数的取值范围是
|
|
1.（1）解决新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，紧扣题目所给定义．
（2）结合题目所给定义和要求进行恰当转化，切忌同已有概念或定义相混淆．
（3）注意数形结合思想的应用：数轴、坐标系和Venn图．
|
|
4-1．（2024·全国·模拟预测）已知集合A，B满足，若，且，表示两个不同的“AB互衬对”，则满足题意的“AB互衬对”个数为（）
4-2．（2024高三·江苏·学业考试）对于两个非空实数集合和，我们把集合记作.若集合，则中元素的个数为（）
4-3．（2024·浙江温州·三模）设集合，定义：集合，集合，集合，分别用，表示集合S，T中元素的个数，则下列结论可能成立的是（）
4-4．（2024·全国·三模）如图所示的Venn图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合．若，，则（）
4-5．（2024·全国·模拟预测）对于集合A，B，定义集合且，已知集合，，，则（）
|
1．（2024·广东江门·一模）已知集合，，则集合B中所有元素之和为（）
2．（2024·陕西西安·一模）定义集合且.已知集合，，则中元素的个数为（）
3．（江西省五市九校协作体2023届高三第二次联考数学（文）试题）已知集合，，若，则（）
4．（2024·北京东城·一模）已知集合，且，则a可以为（）
5．（2024·河南·模拟预测）已知，若，且，则a的取值范围是（）
6．（2024高一上·河南商丘·阶段练习）已知集合的元素只有一个，则实数a的值为（）
7．（2024·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知集合，则A中元素的个数为（）
8．（2024高二下·湖南·阶段练习）已知集合，，若“”是“”的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）
9．（2024·广东茂名·二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（）
10．（2024·广东广州·二模）已知集合，，则集合的元素个数为（）
11．（2024·河北张家口·二模）已知集合，，则（）
12．（2024·广东·模拟预测）已知集合，则下列Venn图中阴影部分可以表示集合的是（）
13．（2024·北京海淀·模拟预测）已知集合满足：①，②，必有，③集合中所有元素之和为，则集合中元素个数最多为（）
14．（2024·全国·模拟预测）对于集合，定义，且．若，，将集合中的元素从小到大排列得到数列，则（）
17．（2024·全国）已知集合，，则中元素的个数为（）
18．（2024·甘肃张掖·模拟预测）设全集，若集合，则（）
A．{-2，0，2，3} B．{-2，2，3} C．{0，2，3} D．{-2，-1}
19．（2024·内蒙古包头·二模）设集合，，则（）
20．（2024·内蒙古包头·二模）设集合，且，则（）
21．（2024·天津河东·一模）已知集合，，，则实数的值为（）
22．（2024·河北张家口·一模）已知集合，，，则（）
23．（2024·江苏南通·模拟预测）已知P，Q为R的两个非空真子集，若Ü，则下列结论正确的是（）
24．（2024·广西南宁·二模）已知集合，，则（）
25．（2024·广西南宁·二模）已知集合，，则（）
26．（2024·辽宁鞍山·模拟预测）设全集，集合，，则实数的值为（）
27．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数a的取值范围是（）
28．（2024·湖南怀化·二模）已知集合，则的真子集共有（）
35．（2024高一上·湖南长沙·阶段练习）已知，若，则（）
38．（2024·全国）设全集，集合M满足，则（）
40．（2024·重庆·一模）已知集合，则B中元素个数为
41．（2014年广东省广州市普通高中毕业班综合测试一理科数学试卷（带解析））已知集合A＝，则集合A中的元素个数为()
42．（2024高三上·河北衡水·阶段练习）已知集合，集合中至少有3个元素，则
43．（2024高一下·广西·阶段练习）若集合中只有一个元素，则
44．（2007·山西）设a,b∈R，集合，则=()
45．（2024高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）集合，则下列关系正确的是（）
46．（2024高一·全国·专题练习）已知集合A＝{x∈Z|x2－2x－3≤0}，B＝{y|y＝}，则A∩B子集的个数为()
47．（2024高三·河南南阳·阶段练习）已知全集，则如图所示的阴影部分所表示的集合为
48．（2024高三·湖南郴州·阶段练习）已知，，若，则
49．（2024·吉林·三模）设全集集合，集合若，则应该满足的条件是
50．（2024·全国·模拟预测）已知均为的子集，且，则（）
51．（2024高一上·河北石家庄·期中）已知M,N为集合Ⅰ的非空真子集，且M,N不相等，若，则（）
52．（2024·山东潍坊·一模）若非空集合满足：，则（）
53．（河南省安阳市第一中学2023届高三第四次全真模拟数学试题）由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数史称戴德金分割，并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机所谓戴德金分割，是指将有理数集Q划分为两个非空的子集M与N，且满足，，M中的每一个元素都小于N中的每一个元素，则称为戴德金分割试判断下列选项中，可能成立的是（）
54．（2024高三·全国·专题练习）若集合，且，则集合可能是（）
55．（2024·山东烟台·模拟预测）若非空集合G和G上的二元运算“”满足：①，；②，对，：③，使，，有；④，，则称构成一个群.下列选项对应的构成一个群的是（）
56．（2024·江西·模拟预测）2021年是中国共产党成立100周年，电影频道推出“经典频传：看电影，学党史”系列短视频，传扬中国共产党的伟大精神，为广大青年群体带来精神感召.现有《青春之歌》《建党伟业》《开国大典》三支短视频，某大学社团有50人，观看了《青春之歌》的有21人，观看了《建党伟业》的有23人，观看了《开国大典》的有26人.其中，只观看了《青春之歌》和《建党伟业》的有4人，只观看了《建党伟业》和《开国大典》的有7人，只观看了《青春之歌》和《开国大典》的有6人，三支短视频全观看了的有3人，则没有观看任何一支短视频的人数为.
57．（2024·湖北·二模）已知X为包含v个元素的集合（，）．设A为由X的一些三元子集（含有三个元素的子集）组成的集合，使得X中的任意两个不同的元素，都恰好同时包含在唯一的一个三元子集中，则称组成一个v阶的Steiner三元系．若为一个7阶的Steiner三元系，则集合A中元素的个数为．
58．（2024·甘肃·二模）建党百年之际，影片《》《长津湖》《革命者》都已陆续上映，截止年月底，《长津湖》票房收入已超亿元，某市文化调查机构，在至少观看了这三部影片中的其中一部影片的市民中随机抽取了若干人进行调查，得知其中观看了《》的有人，观看了《长津湖》的有人，观看了《革命者》的有人，数据如图，则图中；；.
59．（2024高三·全国·专题练习）集合中实数的取值范围是．
60．（2024高三·全国·专题练习）设集合，，已知且，则的取值集合为.
61．（2024高三·全国·专题练习）用适当的符号填空，使之成为正确的集合关系式：
⑤{x|x＝2k－1，k∈Z}{x|x＝2k＋1，k∈Z}；
⑥{x|x＝2k，k∈Z}{x|x＝4k，k∈Z}；
⑦{x|x＝a2＋1，a∈R}{x|x＝a2＋2a＋2，a∈R}；
⑧{x|x＝a2＋1，a∈N}{x|x＝a2＋2a＋2，a∈N}
62．（2024高三·全国·专题练习）集合的子集的个数为．
63．（2024高一上·四川成都·阶段练习）同时满足（1）；（2）若，则的非空集合M有个．
64．（2024高三·全国·专题练习）已知集合，，则；
65．（2024·湖南）某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为
66．（2024高三·全国·专题练习）已知全，A⋂(CUB)＝{1，3，5，7}，则B＝.
67．（2024高一上·广东梅州·阶段练习）已知集合，或，，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是.
68．（河南省淮阳县陈州高级中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试题）当两个集合中一个集合为另一集合的子集时称这两个集合之间构成“全食”，当两个集合有公共元素，但互不为对方子集时称两集合之间构成“偏食”.对于集合，若A与B构成“全食”，或构成“偏食”，则a的取值集合为
69．（2024高三·全国·专题练习）从七名运动员中选出名参加米接力赛，其中运动员不跑第一棒，运动员不跑第二棒，则不同安排方案有种.
70．（2024高三·全国·专题练习）从名学生，其中有女生，选出名学生代表参加某会议，名学生代表中至少有一名女生选法有种.
71．（2024高三·全国·专题练习）若集合，，则满足且的集合的个数是.
72．（2024高一上·上海奉贤·阶段练习）某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有的学生喜欢足球或游泳，的学生喜欢足球，的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是.
73．（2024高三·全国·专题练习）选择适当的方法表示下列集合：
微信扫一扫打赏