快速掌握微积分：导数与求导法则解析

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先把一句话放这里，导数就是切线的斜率，就是速度，就是变化率。

一、导数定义从零开始

能记得导数定义，并且能说出上面三个词的含义的选手，直接跳到第二段。

第一个例子是几何的。

认真观察上面的图形。假设你有一个函数，y=f（x）。这是一个一元实值函数，而且假装你已经做出了函数的图像。现在盯着点图像上的点P（a，f(a)）。你想得到过P点的切线，可以在图像上做点Q，当Q距离P远时，必须称线段PQ割线。现在，明摆着，割线的斜率是

现在让Q在图像上逐渐向P移动，当越来越近时，最终你得到切线。最终的意思是，让自变量x的变化量，趋于0，也就是无穷小。也是明摆着的事，切线的斜率就是让自变量x向a无穷接近时的割线的斜率。用极限的记号就是

第二个例子是物理的。认真观察下面的图

假设你关心一个做直线运动的物体，其在t=a时刻，经过点P的速度。假设你已经有了位置关于时间的函数。也就是有了函数s=f（t）。

你可以假想物体经过P时，继续运动。比如在t=a+h时刻，到了Q。

现在线段PQ的斜率，就是平均速度

如果你让h趋于0，就是让时间的增量越来越小时，就得到了 瞬时速度

这两个例子都很容易。重要的是需要计算相同类型极限，记作

如果不管这两个问题的具体意义，上面极限号里面的公式，就是“函数值改变量相对于自变量变化量的比率”，也就是变化率。

斜率，速度，变化率，是你理解大多数概念的重要工具。在不同的场合要运用不同的术语，差不多立刻就得到答案。比方说求导法则的大部分，都可以强行解释，不用证明。

二、求导法则

求导法之所以重要，是因为，原则上，你只要记住很少的几个导数公式，就可以运用求导法则获得更多。

第一条，常数的导数是零。废话，因为常数不会变化，所以变化率必须是零。

第二条，函数乘以常数，导数变成同样的倍数。这么说吧，你一秒走一米，现在一秒走k米，速度当然是k倍。

第三条，函数的和的导数，是导数的和。简直了，你一秒吃100克米饭，喝20克饮料，问你一秒吃喝多少，这还是速度。只不过是稍微变了一下。

第四条，函数的差的导数，是导数的差。简直了，你一秒喝100克水，尿20克尿，问你一秒体重增加多少，这还是速度。只不过是稍微变了一下，输入-输出的速度。

第五条，积的求导法。这个难，也重要。分部积分就是从这里来的。

第六条，商的求导法。这个更难。但是仍然可以强行解释一波（如果你不觉得证明难，就别看这个解释了）。

盯着商f/g，认真考虑。假设分子分母都在变化。问变化率是什么。你可以想，如果分母g不变，那么肯定分子f变化越快，商变化越快，因此要有g*f\'。类似的，如果分子f不变，那么肯定g变化越快，商变化率越小，所以，要有-f*g\'。综合在一起，要有g*f\'-f*g\'。但是这个表达式量纲不对，比方说，f单位是斤，g单位是米，它们的商就是一个线密度的概念。假设x单位是秒，商的导数就是斤/（米*秒），如果分母没有个g^2，整个公式都不对了。这个推理的逻辑是反证法“没有xx不行”=“必须要有xx”。

所有思路学自J.Stewart的书《calculus》。这本书是世界流行的课本，没有傅里叶级数，微分方程也少。因为欧美一般要单开微分方程和傅里叶分析课程。国内的物理和工科根本不开。原因不想说了。

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