13.3.1空间图形的表面积
一、单选题
1．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（）．
A．
B．2C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出底面圆周长，再计算圆锥侧面积即可.
【详解】
如图，由题意知
为等腰直角三角形，则
，底面圆周长为
，
故圆锥的侧面积为
.
故选：D.
2．攒尖是我国古代建筑中屋项的一种结构样式，宋朝时称“撮尖”，清朝时称“攒尖”，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑，下面以圆形攒尖为例．如图，亭阁式建筑屋项部分的轮廓可近似看作一个圆锥，其底面半径约为4米，母线长约为6米，则该圆形攒尖侧面的面积约为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面积公式，求解.
【详解】
由条件可知，圆锥的底面半径
，母线
，
则圆锥侧面积
.
故选：B
3．正四棱台上、下底面边长分别为
，侧棱长，则棱台的侧面积为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．
【详解】
解：设
，可得正四棱台的斜高为
，
所以棱台的侧面积为
．
故选：
．
4．若圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（）
A．
B．
C．
D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
圆锥的侧面积为
底面周长
母线长.侧面积为底面积加侧面积，相比即可得到答案.
【详解】
设底面半径为
，底面面积为
，圆锥的侧面积为
，圆锥的表面积为底面积加侧面积为：
.
该圆锥的侧面积与表面积的比值为
.
故选：B.
5．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是
，则母线长为（）
A．2B．
C．4D．8
【答案】C
【解析】
【分析】
根据圆台的侧面积公式可得答案.
【详解】
设圆台的母线长为
，上，下底面的半径分别为
,则
圆台的侧面积为
，解得
故选：C
6．已知圆锥轴截面是等腰直角三角形，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面上，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（）
A．
B．
C．
D．以上答案都不对
【答案】B
【解析】
【分析】
设圆锥的底面半径为，正方体的边长为
，求出
，再求出圆锥和正方体的表面积化简即得解.
【详解】
解：设圆锥的底面半径为，正方体的边长为，由轴截面得
，
因为
，所以，
所以圆锥的表面积
，
正方体的表面积
所以
.
故选：B
二、填空题
7．若五棱台
的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．
【答案】5
【解析】
【分析】
由
即求.
【详解】
，
则
．
故答案为：5.
8．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中
平面
，则四面体PABC的外接球的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
确定外接球球心求得球半径后可得表面积．
【详解】
由于平面，因此
与底面上的直线
都垂直，
从而
与
不可能垂直，否则
是锐角三角形，由于
，因此有
，
而与是平面
内两相交直线，则
平面平面，所以
，
所以
的中点
到
四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．
，
所以所求表面积为
．
故答案为：．
三、解答题
9．已知在正三棱柱
中，侧棱长
为3，H、G分别是AB，中点．
(1)证明：
平面
；
(2)若
，求此三棱柱的侧面积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取
的中点，连接
、
，即可得到四边形
为平行四边形，即
，即可得证；
（2）由（1）可得
，根据正三棱柱的性质及勾股定理求出
，即可求出底面边长，再根据侧面积公式计算可得；
(1)证明：取的中点，连接、，因为
为
的中点，
所以
且
，又
是的中点，
且三棱柱是正三棱柱，
所以
且
，所以
且
，
所以四边形为平行四边形，所以，
因为
平面
平面，所以平面；
(2)解：由（1）可知，所以
，又
，
正三棱柱中侧棱垂直于底面且底面是正三角形，
所以
，所以
，即
，
所以棱柱的侧面积
10．如图，圆锥底面半径为1，高为2.
(1)求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值；
(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？说明理由；
(3)若圆锥的底面半径为a，高为b，试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析
(3)存在最大值
【解析】
【分析】
（1）依题意作出圆锥的轴截面，设内接圆柱底面半径为
，高为h，利用三角形相似得到
，再利用基本不等式求出面积的最大值；
（2）由（1）可得
，根据二次函数的性质判断可得；
（3）依题意可得
，根据二次函数的性质计算可得；
(1)解：作出轴截面如下图所示，
设内接圆柱底面半径为，高为h，，由
，所以
，所以
，所以
当且仅当
，即
时等号成立，此时侧面积最大；
(2)
解：由（1）可得
，而
，故不存在最大值；
(3)解：设圆柱底面半径为
，高h，由，所以，所以
所以
当
，即
，二次函数
开口向上，在
内无最大值
当
，即
，一次函数
在内也无最大值
当
，即
，二次函数开口向下，若区间内存在最大值，则对称轴
所以
，综上当且仅当（圆锥高大于底面半径）时，圆锥的内接圆柱的全面积存在最大值；
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