13.3.1空间图形的表面积

一、单选题

1．已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且圆锥的母线长为2，则圆锥的侧面积是（）．

A．B．2C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出底面圆周长，再计算圆锥侧面积即可.

【详解】

如图，由题意知为等腰直角三角形，则，底面圆周长为，

故圆锥的侧面积为.

故选：D.

2．攒尖是我国古代建筑中屋项的一种结构样式，宋朝时称“撮尖”，清朝时称“攒尖”，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑，园林建筑，下面以圆形攒尖为例．如图，亭阁式建筑屋项部分的轮廓可近似看作一个圆锥，其底面半径约为4米，母线长约为6米，则该圆形攒尖侧面的面积约为（）

A．B．

C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆锥侧面积公式，求解.

【详解】

由条件可知，圆锥的底面半径，母线，

则圆锥侧面积.

故选：B

3．正四棱台上、下底面边长分别为，侧棱长，则棱台的侧面积为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高，再由棱台的侧面积公式，计算可得所求值．

【详解】

解：设，可得正四棱台的斜高为，

所以棱台的侧面积为．

故选：．

4．若圆锥的轴截面为等边三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值为（）

A．B．C．D．2

【答案】B

【解析】

【分析】

圆锥的侧面积为底面周长母线长.侧面积为底面积加侧面积，相比即可得到答案.

【详解】

设底面半径为，底面面积为，圆锥的侧面积为，圆锥的表面积为底面积加侧面积为：.该圆锥的侧面积与表面积的比值为.

故选：B.

5．一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为（）

A．2B．C．4D．8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆台的侧面积公式可得答案.

【详解】

设圆台的母线长为，上，下底面的半径分别为,则

圆台的侧面积为，解得

故选：C

6．已知圆锥轴截面是等腰直角三角形，一个正方体有四个顶点在圆锥的底面上，另外的四个顶点在圆锥的侧面上（如图），则圆锥与正方体的表面积之比为（）

A．B．C．D．以上答案都不对

【答案】B

【解析】

【分析】

设圆锥的底面半径为，正方体的边长为，求出，再求出圆锥和正方体的表面积化简即得解.

【详解】

解：设圆锥的底面半径为，正方体的边长为，由轴截面得，

因为，所以，

所以圆锥的表面积，

正方体的表面积

所以.

故选：B

二、填空题

7．若五棱台的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为______．

【答案】5

【解析】

【分析】

由即求.

【详解】

，

则．

故答案为：5.

8．词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》，是古代人对一些特殊锥体的称呼．在《九章算术・商功》中，把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC，其中平面，则四面体PABC的外接球的表面积为______．

【答案】

【解析】

【分析】

确定外接球球心求得球半径后可得表面积．

【详解】

由于平面，因此与底面上的直线都垂直，

从而与不可能垂直，否则是锐角三角形，由于，因此有，

而与是平面内两相交直线，则平面平面，所以，

所以的中点到四个点的距离相等，即为四面体PABC的外接球球心．

，

所以所求表面积为．

故答案为：．

三、解答题

9．已知在正三棱柱中，侧棱长为3，H、G分别是AB，中点．

(1)证明：平面；

(2)若，求此三棱柱的侧面积．

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）取的中点，连接、，即可得到四边形为平行四边形，即，即可得证；

（2）由（1）可得，根据正三棱柱的性质及勾股定理求出，即可求出底面边长，再根据侧面积公式计算可得；

(1)证明：取的中点，连接、，因为为的中点，

所以且，又是的中点，

且三棱柱是正三棱柱，

所以且，所以且，

所以四边形为平行四边形，所以，

因为平面平面，所以平面；

(2)解：由（1）可知，所以，又，

正三棱柱中侧棱垂直于底面且底面是正三角形，

所以，所以，即，

所以棱柱的侧面积

10．如图，圆锥底面半径为1，高为2.

(1)求圆锥内接圆柱（一底面在圆锥底面上，另一底面切于圆锥侧面）侧面积的最大值；

(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值？说明理由；

(3)若圆锥的底面半径为a，高为b，试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.

【答案】(1)

(2)不存在，理由见解析

(3)存在最大值

【解析】

【分析】

（1）依题意作出圆锥的轴截面，设内接圆柱底面半径为，高为h，利用三角形相似得到，再利用基本不等式求出面积的最大值；

（2）由（1）可得，根据二次函数的性质判断可得；

（3）依题意可得，根据二次函数的性质计算可得；

(1)解：作出轴截面如下图所示，

设内接圆柱底面半径为，高为h，，由，所以，所以，所以

当且仅当，即时等号成立，此时侧面积最大；

(2)

解：由（1）可得

，而，故不存在最大值；

(3)解：设圆柱底面半径为，高h，由，所以，所以

所以

当，即，二次函数开口向上，在内无最大值

当，即，一次函数在内也无最大值

当，即，二次函数开口向下，若区间内存在最大值，则对称轴

所以，综上当且仅当（圆锥高大于底面半径）时，圆锥的内接圆柱的全面积存在最大值；