一本线高考网 高二 苏教版高中数学必修二《13.3.1空间图形的表面积》试题

苏教版高中数学必修二《13.3.1空间图形的表面积》试题

13.3.1空间图形的表面积

一、单选题

1.已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形,且圆锥的母线长为2,则圆锥的侧面积是().

A.B.2C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

先求出底面圆周长,再计算圆锥侧面积即可.

【详解】

如图,由题意知为等腰直角三角形,则,底面圆周长为

故圆锥的侧面积为.

故选:D.

2.攒尖是我国古代建筑中屋项的一种结构样式,宋朝时称“撮尖”,清朝时称“攒尖”,通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖,也有单檐和重檐之分,多见于亭阁式建筑,园林建筑,下面以圆形攒尖为例.如图,亭阁式建筑屋项部分的轮廓可近似看作一个圆锥,其底面半径约为4米,母线长约为6米,则该圆形攒尖侧面的面积约为()

A.B.

C.D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根据圆锥侧面积公式,求解.

【详解】

由条件可知,圆锥的底面半径,母线

则圆锥侧面积.

故选:B

3.正四棱台上、下底面边长分别为,侧棱长,则棱台的侧面积为()

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由棱台的性质和勾股定理求得棱台的斜高,再由棱台的侧面积公式,计算可得所求值.

【详解】

解:设,可得正四棱台的斜高为

所以棱台的侧面积为

故选:

4.若圆锥的轴截面为等边三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比值为()

A.B.C.D.2

【答案】B

【解析】

【分析】

圆锥的侧面积为底面周长母线长.侧面积为底面积加侧面积,相比即可得到答案.

【详解】

设底面半径为,底面面积为,圆锥的侧面积为,圆锥的表面积为底面积加侧面积为:.该圆锥的侧面积与表面积的比值为.

故选:B.

5.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是,则母线长为()

A.2B.C.4D.8

【答案】C

【解析】

【分析】

根据圆台的侧面积公式可得答案.

【详解】

设圆台的母线长为,上,下底面的半径分别为,则

圆台的侧面积为,解得

故选:C

6.已知圆锥轴截面是等腰直角三角形,一个正方体有四个顶点在圆锥的底面上,另外的四个顶点在圆锥的侧面上(如图),则圆锥与正方体的表面积之比为()

A.B.C.D.以上答案都不对

【答案】B

【解析】

【分析】

设圆锥的底面半径为,正方体的边长为,求出,再求出圆锥和正方体的表面积化简即得解.

【详解】

解:设圆锥的底面半径为,正方体的边长为,由轴截面得

因为,所以

所以圆锥的表面积

正方体的表面积

所以.

故选:B

二、填空题

7.若五棱台的表面积是30,侧面积是25,则两底面面积的和为______.

【答案】5

【解析】

【分析】

即求.

【详解】

故答案为:5.

8.词语“堑堵”、“阳马”、“鳖臑”等出现自中国数学名著《九章算术・商功》,是古代人对一些特殊锥体的称呼.在《九章算术・商功》中,把四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”.现有如图所示的“鳖臑”四面体PABC,其中平面,则四面体PABC的外接球的表面积为______.

【答案】

【解析】

【分析】

确定外接球球心求得球半径后可得表面积.

【详解】

由于平面,因此与底面上的直线都垂直,

从而不可能垂直,否则是锐角三角形,由于,因此有

是平面内两相交直线,则平面平面,所以

所以的中点四个点的距离相等,即为四面体PABC的外接球球心.

所以所求表面积为

故答案为:

三、解答题

9.已知在正三棱柱中,侧棱长为3,H、G分别是AB,中点.

(1)证明:平面

(2)若,求此三棱柱的侧面积.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【解析】

【分析】

(1)取的中点,连接,即可得到四边形为平行四边形,即,即可得证;

(2)由(1)可得,根据正三棱柱的性质及勾股定理求出,即可求出底面边长,再根据侧面积公式计算可得;

(1)证明:取的中点,连接,因为的中点,

所以,又的中点,

且三棱柱是正三棱柱,

所以,所以

所以四边形为平行四边形,所以

因为平面平面,所以平面

(2)解:由(1)可知,所以,又

正三棱柱中侧棱垂直于底面且底面是正三角形,

所以,所以,即

所以棱柱的侧面积

10.如图,圆锥底面半径为1,高为2.

(1)求圆锥内接圆柱(一底面在圆锥底面上,另一底面切于圆锥侧面)侧面积的最大值;

(2)圆锥内接圆柱的表面积是否存在最大值?说明理由;

(3)若圆锥的底面半径为a,高为b,试讨论圆锥内接圆柱的全面积是否存在最大.

【答案】(1)

(2)不存在,理由见解析

(3)存在最大值

【解析】

【分析】

(1)依题意作出圆锥的轴截面,设内接圆柱底面半径为,高为h,利用三角形相似得到,再利用基本不等式求出面积的最大值;

(2)由(1)可得,根据二次函数的性质判断可得;

(3)依题意可得,根据二次函数的性质计算可得;

(1)解:作出轴截面如下图所示,

设内接圆柱底面半径为,高为h,,由,所以,所以,所以

当且仅当,即时等号成立,此时侧面积最大;

(2)

解:由(1)可得

,而,故不存在最大值;

(3)解:设圆柱底面半径为,高h,由,所以,所以

所以

,即,二次函数开口向上,在内无最大值

,即,一次函数内也无最大值

,即,二次函数开口向下,若区间内存在最大值,则对称轴

所以,综上当且仅当(圆锥高大于底面半径)时,圆锥的内接圆柱的全面积存在最大值;

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