第一章集合、常用逻辑用语、算法
第一讲集合
知识归纳
集合的运算是高考和竞赛的热点之一, 考查内容包括对子集、交集、并集、全集、补集概念的理解, 集合间的转化, 集合运算性质的应用等.
1. 集合的概念.
集合是数学中的原始概念, 其表示方法有列举法、描述法和韦恩 (Venn) 图表示法, 常用的集合还有约定的字母符号表示 (如实数集用 ,空集用 表示等).
2. 集合之间的关系.
元素与集合之间具有\"属于()\"或\"不属于()\"的关系,集合与集合之间的关系包括包含关系、相等关系和不包含关系.包含关系与子集概念等价,即集合包含于集合 B 等价于 是 的子集,记作 集合 真包含于集合 等价于 是 的真子集,记做 若 且,则集合 相等,记做
3. 集合的运算.
除教科书上介绍的运算律外,还有下面的两个运算律 ( 是全集):
(1)分配律 ,
(2)摩根律,
4. 有限集的子集的个数.
若有限集 含有 个元素,则 的子集有 个,真子集有 个,非空子集有 个.
5. 有限集的元素个数.
对任意两个有限集合 ,有 ,. 此结论可以推广到任意 个有限集合 (称为容斥原理).
典型例题
例 1
已知集合 . 集合 满足下列条件: 若集合 中各元素都加 2,就变为 的一个子集; 若集合 中各元素都减 2,就变为 的一个子集. 求集合 .
解
集合 中各元素都减 2,得 ; 集合 中各元素都加 2,得 , . 由题意,得集合 ,且 ,
,且 . ,或 ,或 .
评注
通过本题,我们体会到列举法能直观地表示集合. 根据条件写出集合 所属的两个集合,而集合 是这两个集合交集的子集,得到交集即可得到集合 .
例 2
已知集合,求实数 的值.
分析 可转化为 ,化简集合 即可.
解
由 ,得 ,其中 .
为了求集合 ,分下列两种情况讨论: (1) 当 时, ,适合条件. (2) 当 时, ,要使 ,只需 ,或 ,或 .
综上所述, ,或 ,或 .
评注
有关两个集合关系的问题不可忽视空集、全集的情况,本题极易漏掉 .
例 3
(1) 已知集合, 求 .
(2)已知集合,求 .
(3)已知集合,求 .
(4)已知集合, 求 .
解
(1) 集合 是二次方程的解集,求 即求两个二次方程的公共解构成的集合. 由 ,得 ,或 . 由 ,得 ,或 .
.
(2)集合 是二次函数的函数值 的取值范围, 即为两个二次函数值取值范围的公共部分构成的集合.
,
.
(3)由 ,得 是变量 取自然数时,所对应的整数值构成的集合.
.
(4)集合 表示抛物线上的点集 (或二元二次方程的解集),
是两条抛物线的交点构成的集合.
由 $\\left{
\\right.\\ 解得\\left{
\\right.\\ 或\\left{
\\mspace{6mu}\\therefore\\mspace{6mu} A \\cap B = {(3,12),( - 3,0)} \\right.\\ $ .
评注
(1) 用描述法表示集合 时,要有代表元素 及它所具有的性质 这两项内容.
(2)描述法表示集合具有概括、简练和抽象的特点, 列举法表示集合具有直观、清晰和可数的特点, 解题时要根据需要进行互化.
例 4
已知集合 0,x \\in \\mathbf{R}\\}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0,x \\in \\mathbf{R}\\}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\">,且 ,求实数 的取值范围.
分析 由 是一元二次方程的解集, 是正实数集,得 等价于二次方程无解或有两个非正实数解.
解
当 时,<span data-formula=\"\\Delta = (k - 3)^{2} + 16k = k^{2} + 10k + 9 <span data-formula=\"\\Delta = (k - 3)^{2} + 16k = k^{2} + 10k + 9 ,解得 <span data-formula=\"- 9 < k <span data-formula=\"- 9 < k .
当 时, 有两个非正实数解,则
实数的取值范围是.
评注
集合是一种数学语言, 根据集合运算进行等价转化是解决集合运算问题的基本思路. 而理解问题中集合表示的对象, 联想有关知识, 是正确转化的关键.
例 5
已知全集<span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} <span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} , ,求 和 .
分析 题中出现 等多个集合,可以运用 Venn 图解题.
解
① 全集<span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} <span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} .
图 1-1
②如图 1-1,将, 中的元素在图中依次定位.
③将元素 4,7 定位.
④根据图中元素的位置,得 .
评注
集合问题比较抽象, 解题时应尽可能借助韦恩图、数轴等直观图形, 利用数形结合思想将抽象问题直观化、明朗化, 从而使问题得到解决.
例 6
设集合 是 的子集,且满足条件: 当 时, ,则 中元素的个数最多是多少个?
解
由题设知, 与 这两个数中至少有一个不属于 .
时, 一定不属于 .
同理, ,当 时, 与 不能同时属于 ,此时至少有 134 个数不属于 ,于是, .
因为可取 ,所以 的最大值为 1884 .
例 7
设集合 .
(1)当 取何值时, 为含有 2 个元素的集合?
(2)当 取何值时, 为含有 3 个元素的集合?
分析 因为 ,所以只要求出 和 中的元素,再分别加以讨论即可.
解
与 分别为方程组
( I ) $\\left{
\\right.\\ \\left{
\\right.\\ $ 的解集.
由 ,得 或 .
由 (II),得 或 .
(1)要使 含有 2 个元素,只需① $\\left{
\\right.\\ 或②\\left{
\\right.\\ $
由 ①,得 . 由②,得 .
故当 或 1 时, 含有 2 个元素.
(2)要使 含有 3 个元素,只需 ,解得 .
故当 时, 含有 3 个元素.
评注
解决本题的关键是合理利用集合的运算律.
例 8
已知集合 0\\},B = \\{(x,y)||xy \\right| + 1 = |x| +\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0\\},B = \\{(x,y)||xy \\right| + 1 = |x| +\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\"> . 若 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,求 的值.
分析 由已知条件知, 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,故需先求出 的具体元素,然后利用数形结合思想解题.
解
由集合 ,得 .
先求 位于第一象限内的点.
图 1-2
解方程组 $\\left{
\\right.\\ 得\\left{
\\right.\\ 或\\left{
\\right.\\ 于是得到A \\cap B在第一象限内的两点(1,a - 1),(a - 1,1)注意到集合A \\cap B中的元素满足的式子都是绝对值方程所以与第一象限内两点关于x轴、原点、y轴对称的个点仍然是A \\cap B$ 中的元素, 如图 1-2 所示.
下面讨论 取何值时,这 8 个点构成正八边形.
①若点 ,则点 . 于是 ,得<span data-formula=\"a = 2 + \\sqrt{2}\\left( a = 2 - \\sqrt{2} <span data-formula=\"a = 2 + \\sqrt{2}\\left( a = 2 - \\sqrt{2} 舍去.
②若点 ,则点 . 于是 ,得<span data-formula=\"a = \\sqrt{2}\\left( a = - \\sqrt{2} <span data-formula=\"a = \\sqrt{2}\\left( a = - \\sqrt{2} 舍去 .
综上所述, 的值为 或 .
评注 解本题的关键是用代数方法(解方程组)求出正八边形在第一象限内的两个顶点 的坐标,然后利用对称性求出顶点 的坐标,再利用 ,构造关于 的方程. 本题还有一种解法: 点集 中的点构成顶点为 的正方形的四条边; 对于点集 ,可将 变形为 ,所以点集 中的点构成四条直线 . 以下可以利用数形结合思想,请读者自行完成.
例 9
集合 满足下列条件:
① .
② <span data-formula=\"A_{i} \\cap A_{j} = \\varnothing,1 \\leq i <span data-formula=\"A_{i} \\cap A_{j} = \\varnothing,1 \\leq i .
那么称 为集合 的一个 划分.
求最小正整数 ,使得对 的任意一个 14 划分 ,一定存在某个集合 ,在 中有 2 个元素 ,满足 <span data-formula=\"b <span data-formula=\"b .
解
(1) 若 <span data-formula=\"m <span data-formula=\"m ,令,则 <span data-formula=\"\\forall b <span data-formula=\"\\forall b , 14),均有 a > b\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> a > b\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\"> ,且 . 故 <span data-formula=\"b \\leq a - 14 <span data-formula=\"b \\leq a - 14 .
于是, 1 + \\frac{14}{42} = \\frac{4}{3}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 1 + \\frac{14}{42} = \\frac{4}{3}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\">. 故正整数 .
(2)若 ,则对 的任意划分 ,数 中,必有两个数属于同一个 ,它们满足<span data-formula=\"b <span data-formula=\"b .
综上所述,所求 的最小正整数值为 56 .
例 10
对集合 及其每一个非空子集,定义一个唯一确定的\"交替和\" 学习札记如下: 按照递减的次序重新排列该子集, 然后从最大的数开始, 交替地减、加后继的数所得的结果. 例如,集合 的\"交替和\"是 的\"交替和\" 是 的 \"交替和\" 是 5 等. 试求 的所有非空子集的 \"交替和\" 的总和.
分析 的非空子集共有 个,显然,逐个计算 \"交替和\"然后相加是不可能的, 必须通过分析\"交替和\"的特点, 寻找解决问题的\"窍门\". 为了分析\"交替和\"的特点, 可以先令 为某一恰当的具体的数 (如 ),这是解决数学问题的常用方法 (从特殊到一般的方法).
当 时, ,非空子集共有 15 个. 它们的全部 \"交替和\"如下:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
从以上写出的 \"交替和\"中,我们可以发现,除集合 以外,可以把 的子集分成两类: 一类子集中包含 4 , 另一类不包含 4 . 并且可以在这两类集合之间建立一个一一映射: 设 是 的一个不包含 4 的子集,则令 与集合 相对应. 显然 与 的 \"交替和\"之和是 4. 由于这样的 共有 个,故 的所有子集的\"交替和\"的总和是 .
解
集合 的非空子集中,除去集合 ,还有 个非空子集. 现将这 个子集分成两类: 第一类是包含元素 的子集,第二类是不包含 的子集. 在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系, ,其中 是第二类子集, 显然这种对应是一一映射. 设 的交替和为 ,则 的交替和为 ,这一对集合的交替和的和等于 ,故集合 的所有非空子集的\"交替和\"的总和是
方法导引与拓展
集合是一种数学基本语言, 要正确理解集合语言, 合理使用集合语言表示相关的数学对象,解决相关的数学问题. 在描述法表示的集合 中,有代表元素 及它所具有的性质 两项内容,不同形式的代表元素表示不同的集合 (如例 3 、例 7).
解决有关集合之间的关系问题, 要注意抓住元素这个关键, 同时不能忽视空集这个特殊情况, 否则极易漏解 (如例 2 、例 4).
集合问题是综合问题, 它可能涉及代数、几何、数论、计数以及其他数学内容和数学思想方法. 如例 3 、例 4 涉及函数、方程, 例 5 、例 8 运用了数形结合思想, 例 10 运用了映射思想等.
巩固练习
1. 定义集合运算: . 设集合 , 则集合 的所有元素之和为 ( ).
A. 0
B. 6
C. 12
D. 18
2. 设集合,则下列结论错误的是 ( ).
A.
B.
C.
D.
3. 设全集 ,则 .
A.
B.
C.
D.
4. 两个集合的关系为 ( ).
A.
B.
C.
D.
5. 集合 的并集 ,当 时,将 与 视为不同的集合对,则这样的集合对 的个数是 ( ).
A. 8
B. 9
C. 25
D. 27
6. 函数,其中 为实数集 的两个非空子集. 又规定 . 给出下列四个判断:
① 若 ,则 ;
②若 ,则 ;
③若 ,则 ;
④若 ,则 .
其中判断正确的有 ( ).
A. 1 个
B. 2 个
C. 3 个
D. 4 个
7. 已知集合,且 ,那么实数 的取值范围是___.
8. 已知集合 ,且 ,那么 的值分别是 ___.
9. 某班 41 名学生参加数学、生物、化学 3 个科目的考试, 考试不及格的学生人数如下表: 科目 数学 生物 化学 数学、生物 数学、化学 生物、化学 数学、生物、化学
三个科目都及格的学生人数是___.
10. 已知集合 0 \\right\\},B = \\left\\{ x \\mid x^{2} + ax + b \\leq 0 \\right\\},A \\cup B = \\{ x \\mid x + 2 > 0\\},A \\cap B = \\{ x \\mid 1 0 \\right\\},B = \\left\\{ x \\mid x^{2} + ax + b \\leq 0 \\right\\},A \\cup B = \\{ x \\mid x + 2 > 0\\},A \\cap B = \\{ x \\mid 1 ,那么 ___, ___.
11. 已知非空集合 ,且当 时,必有 ,那么符合要求的 A 共有______个.
12. 已知集合,且 0\\} = \\varnothing\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0\\} = \\varnothing\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\"> ,那么实数 的取值范围是___.
13. 已知集合 0 },\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0 },\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\">$B =y{2} x^{2} - x + \\frac{5}{2},0 \\leq x\\leq 3} $ .
(1)若 ,求实数 的取值范围.
(2)当 取使不等式 恒成立的 的最小值时,求 .
14. 已知一个集合含有 10 个互不相同的两位数, 求证: 这个集合必有两个无公共元素的子集, 这两个子集的各元素之和相等.
15. 已知集合 ,其中 . 由 中的元素构成两个集合:, 其中 是有序数对,集合 和 中的元素个数分别为 和 . 若对于任意 , 总有 ,则称集合 具有性质 .
(1)检验集合 与 是否具有性质 ,并对其中具有性质 的集合写出相应的集合 和 .
(2)对任何具有性质 的集合 ,求证: .
(3)判断 和 的大小关系,并证明你的结论.