典型例题

例 1

已知集合  . 集合 满足下列条件: 若集合  中各元素都加 2,就变为  的一个子集; 若集合 中各元素都减 2,就变为  的一个子集. 求集合  .

解

集合  中各元素都减 2,得  ; 集合  中各元素都加 2,得  ,  . 由题意,得集合  ,且 ,

 ,且  . ,或  ,或  .

评注

通过本题,我们体会到列举法能直观地表示集合. 根据条件写出集合 所属的两个集合,而集合  是这两个集合交集的子集,得到交集即可得到集合 .

例 2

已知集合,求实数  的值.

分析  可转化为  ,化简集合  即可.

解

由  ,得  ,其中  .

为了求集合  ,分下列两种情况讨论: (1) 当  时, ,适合条件. (2) 当  时, ,要使  ,只需  ,或 ,或 .

综上所述,  ,或  ,或  .

评注

有关两个集合关系的问题不可忽视空集、全集的情况,本题极易漏掉 .

例 3

(1) 已知集合, 求  .

(2)已知集合,求  .

(3)已知集合,求  .

(4)已知集合, 求  .

解

(1) 集合  是二次方程的解集,求 即求两个二次方程的公共解构成的集合. 由  ,得 ,或  . 由  ,得  ,或 .

 .

(2)集合  是二次函数的函数值  的取值范围, 即为两个二次函数值取值范围的公共部分构成的集合.

,

.

(3)由  ,得  是变量 取自然数时,所对应的整数值构成的集合.

.

(4)集合  表示抛物线上的点集 (或二元二次方程的解集),

 是两条抛物线的交点构成的集合.

由 $\\left{

\\right.\\ 解得\\left{

\\right.\\ 或\\left{

\\mspace{6mu}\\therefore\\mspace{6mu} A \\cap B = {(3,12),( - 3,0)} \\right.\\ $ .

评注

(1) 用描述法表示集合  时,要有代表元素 及它所具有的性质  这两项内容.

(2)描述法表示集合具有概括、简练和抽象的特点, 列举法表示集合具有直观、清晰和可数的特点, 解题时要根据需要进行互化.

例 4

已知集合 0,x \\in \\mathbf{R}\\}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0,x \\in \\mathbf{R}\\}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\">,且   ,求实数  的取值范围.

分析 由  是一元二次方程的解集,  是正实数集,得 等价于二次方程无解或有两个非正实数解.

解

当  时,<span data-formula=\"\\Delta = (k - 3)^{2} + 16k = k^{2} + 10k + 9 <span data-formula=\"\\Delta = (k - 3)^{2} + 16k = k^{2} + 10k + 9  ,解得 <span data-formula=\"- 9 < k <span data-formula=\"- 9 < k .

当  时, 有两个非正实数解,则

实数的取值范围是.

评注

集合是一种数学语言, 根据集合运算进行等价转化是解决集合运算问题的基本思路. 而理解问题中集合表示的对象, 联想有关知识, 是正确转化的关键.

例 5

已知全集<span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} <span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} ,  ,求  和  .

分析 题中出现 等多个集合,可以运用 Venn 图解题.

解

① 全集<span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} <span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} .

图 1-1

②如图 1-1,将,  中的元素在图中依次定位.

③将元素 4,7 定位.

④根据图中元素的位置,得  .

评注

集合问题比较抽象, 解题时应尽可能借助韦恩图、数轴等直观图形, 利用数形结合思想将抽象问题直观化、明朗化, 从而使问题得到解决.

例 6

设集合  是  的子集,且满足条件: 当 时,   ,则  中元素的个数最多是多少个?

解

由题设知,  与  这两个数中至少有一个不属于  .

时,  一定不属于  .

同理,  ,当 时,  与  不能同时属于  ,此时至少有 134 个数不属于  ,于是,  .

因为可取  ,所以 的最大值为 1884 .

例 7

设集合 .

(1)当  取何值时,  为含有 2 个元素的集合?

(2)当  取何值时,  为含有 3 个元素的集合?

分析 因为  ,所以只要求出 和  中的元素,再分别加以讨论即可.

解

 与 分别为方程组

( I ) $\\left{

\\right.\\ \\left{

\\right.\\ $ 的解集.

由  ,得  或 .

由 (II),得  或 .

(1)要使  含有 2 个元素,只需① $\\left{

\\right.\\ 或②\\left{

\\right.\\ $

由 ①,得  . 由②,得  .

故当  或 1 时,  含有 2 个元素.

(2)要使  含有 3 个元素,只需 ,解得 .

故当  时,  含有 3 个元素.

评注

解决本题的关键是合理利用集合的运算律.

例 8

已知集合 0\\},B = \\{(x,y)||xy \\right| + 1 = |x| +\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0\\},B = \\{(x,y)||xy \\right| + 1 = |x| +\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\"> . 若  是平面上正八边形的顶点所构成的集合,求  的值.

分析 由已知条件知, 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,故需先求出 的具体元素,然后利用数形结合思想解题.

解

由集合  ,得 .

先求  位于第一象限内的点.

图 1-2

解方程组 $\\left{

\\right.\\ 得\\left{

\\right.\\ 或\\left{

\\right.\\ 于是得到A \\cap B在第一象限内的两点(1,a - 1),(a - 1,1)注意到集合A \\cap B中的元素满足的式子都是绝对值方程所以与第一象限内两点关于x轴、原点、y轴对称的个点仍然是A \\cap B$ 中的元素, 如图 1-2 所示.

下面讨论  取何值时,这 8 个点构成正八边形.

①若点  ,则点  . 于是 ,得<span data-formula=\"a = 2 + \\sqrt{2}\\left( a = 2 - \\sqrt{2} <span data-formula=\"a = 2 + \\sqrt{2}\\left( a = 2 - \\sqrt{2} 舍去.

②若点  ,则点  . 于是 ,得<span data-formula=\"a = \\sqrt{2}\\left( a = - \\sqrt{2} <span data-formula=\"a = \\sqrt{2}\\left( a = - \\sqrt{2} 舍去 .

综上所述,  的值为  或  .

评注 解本题的关键是用代数方法(解方程组)求出正八边形在第一象限内的两个顶点 的坐标,然后利用对称性求出顶点  的坐标,再利用 ,构造关于  的方程. 本题还有一种解法: 点集 中的点构成顶点为  的正方形的四条边; 对于点集  ,可将  变形为 ,所以点集 中的点构成四条直线  . 以下可以利用数形结合思想,请读者自行完成.

例 9

集合  满足下列条件:

①  .

② <span data-formula=\"A_{i} \\cap A_{j} = \\varnothing,1 \\leq i <span data-formula=\"A_{i} \\cap A_{j} = \\varnothing,1 \\leq i  .

那么称  为集合  的一个  划分.

求最小正整数  ,使得对  的任意一个 14 划分 ,一定存在某个集合 ,在  中有 2 个元素  ,满足 <span data-formula=\"b <span data-formula=\"b  .

(1) 若 <span data-formula=\"m <span data-formula=\"m  ,令,则 <span data-formula=\"\\forall b <span data-formula=\"\\forall b  , 14),均有 a > b\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> a > b\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\"> ,且  . 故 <span data-formula=\"b \\leq a - 14 <span data-formula=\"b \\leq a - 14  .

(2)若  ,则对  的任意划分  ,数 中,必有两个数属于同一个  ,它们满足<span data-formula=\"b <span data-formula=\"b  .