一本线高考网 历年高考 高中数学奥林匹克竞赛教程基础篇,10章28讲

高中数学奥林匹克竞赛教程基础篇,10章28讲

第一章集合、常用逻辑用语、算法

第一讲集合

知识归纳

集合的运算是高考和竞赛的热点之一, 考查内容包括对子集、交集、并集、全集、补集概念的理解, 集合间的转化, 集合运算性质的应用等.

1. 集合的概念.

集合是数学中的原始概念, 其表示方法有列举法、描述法和韦恩 (Venn) 图表示法, 常用的集合还有约定的字母符号表示 (如实数集用 ,空集用  表示等).

2. 集合之间的关系.

元素与集合之间具有\"属于()\"或\"不属于()\"的关系,集合与集合之间的关系包括包含关系、相等关系和不包含关系.包含关系与子集概念等价,即集合包含于集合 B 等价于 是 的子集,记作 集合  真包含于集合 等价于 是 的真子集,记做 若  且,则集合  相等,记做 

3. 集合的运算.

除教科书上介绍的运算律外,还有下面的两个运算律 (  是全集):

(1)分配律  ,

(2)摩根律,

4. 有限集的子集的个数.

若有限集  含有  个元素,则  的子集有  个,真子集有 个,非空子集有  个.

5. 有限集的元素个数.

对任意两个有限集合  ,有 ,. 此结论可以推广到任意  个有限集合 (称为容斥原理).

典型例题

例 1

已知集合  . 集合 满足下列条件: 若集合  中各元素都加 2,就变为  的一个子集; 若集合 中各元素都减 2,就变为  的一个子集. 求集合  .

集合  中各元素都减 2,得  ; 集合  中各元素都加 2,得  ,  . 由题意,得集合  ,且 ,

 ,且  . ,或  ,或  .

评注

通过本题,我们体会到列举法能直观地表示集合. 根据条件写出集合 所属的两个集合,而集合  是这两个集合交集的子集,得到交集即可得到集合 .

例 2

已知集合,求实数  的值.

分析  可转化为  ,化简集合  即可.

由  ,得  ,其中  .

为了求集合  ,分下列两种情况讨论: (1) 当  时, ,适合条件. (2) 当  时, ,要使  ,只需  ,或 ,或 .

综上所述,  ,或  ,或  .

评注

有关两个集合关系的问题不可忽视空集、全集的情况,本题极易漏掉 .

例 3

(1) 已知集合, 求  .

(2)已知集合,求  .

(3)已知集合,求  .

(4)已知集合, 求  .

(1) 集合  是二次方程的解集,求 即求两个二次方程的公共解构成的集合. 由  ,得 ,或  . 由  ,得  ,或 .

 .

(2)集合  是二次函数的函数值  的取值范围, 即为两个二次函数值取值范围的公共部分构成的集合.

,

.

(3)由  ,得  是变量 取自然数时,所对应的整数值构成的集合.

.

(4)集合  表示抛物线上的点集 (或二元二次方程的解集),

 是两条抛物线的交点构成的集合.

由 $\\left{

\\right.\\ 解得\\left{

\\right.\\ \\left{

\\mspace{6mu}\\therefore\\mspace{6mu} A \\cap B = {(3,12),( - 3,0)} \\right.\\ $ .

评注

(1) 用描述法表示集合  时,要有代表元素 及它所具有的性质  这两项内容.

(2)描述法表示集合具有概括、简练和抽象的特点, 列举法表示集合具有直观、清晰和可数的特点, 解题时要根据需要进行互化.

例 4

已知集合 0,x \\in \\mathbf{R}\\}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0,x \\in \\mathbf{R}\\}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\">,且   ,求实数  的取值范围.

分析 由  是一元二次方程的解集,  是正实数集,得 等价于二次方程无解或有两个非正实数解.

当  时,<span data-formula=\"\\Delta = (k - 3)^{2} + 16k = k^{2} + 10k + 9 <span data-formula=\"\\Delta = (k - 3)^{2} + 16k = k^{2} + 10k + 9  ,解得 <span data-formula=\"- 9 < k <span data-formula=\"- 9 < k .

当  时, 有两个非正实数解,则

实数的取值范围是.

评注

集合是一种数学语言, 根据集合运算进行等价转化是解决集合运算问题的基本思路. 而理解问题中集合表示的对象, 联想有关知识, 是正确转化的关键.

例 5

已知全集<span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} <span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} ,  ,求  和  .

分析 题中出现 等多个集合,可以运用 Venn 图解题.

① 全集<span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} <span data-formula=\"U = \\left\\{ x \\mid x^{2} .

图 1-1

②如图 1-1,将 中的元素在图中依次定位.

③将元素 4,7 定位.

④根据图中元素的位置,得  .

评注

集合问题比较抽象, 解题时应尽可能借助韦恩图、数轴等直观图形, 利用数形结合思想将抽象问题直观化、明朗化, 从而使问题得到解决.

例 6

设集合  是  的子集,且满足条件: 当 时,   ,则  中元素的个数最多是多少个?

由题设知,  与  这两个数中至少有一个不属于  .

时,  一定不属于  .

同理,  ,当 时,  与  不能同时属于  ,此时至少有 134 个数不属于  ,于是,  .

因为可取  ,所以 的最大值为 1884 .

例 7

设集合 .

(1)当  取何值时,  为含有 2 个元素的集合?

(2)当  取何值时,  为含有 3 个元素的集合?

分析 因为  ,所以只要求出 和  中的元素,再分别加以讨论即可.

 与 分别为方程组

( I ) $\\left{

\\right.\\ \\left{

\\right.\\ $ 的解集.

由  ,得  或 .

由 (II),得  或 .

(1)要使  含有 2 个元素,只需① $\\left{

\\right.\\ 或②\\left{

\\right.\\ $

由 ①,得  . 由②,得  .

故当  或 1 时,  含有 2 个元素.

(2)要使  含有 3 个元素,只需 ,解得 .

故当  时,  含有 3 个元素.

评注

解决本题的关键是合理利用集合的运算律.

例 8

已知集合 0\\},B = \\{(x,y)||xy \\right| + 1 = |x| +\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0\\},B = \\{(x,y)||xy \\right| + 1 = |x| +\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\"> . 若  是平面上正八边形的顶点所构成的集合,求  的值.

分析 由已知条件知, 是平面上正八边形的顶点所构成的集合,故需先求出 的具体元素,然后利用数形结合思想解题.

由集合  ,得 .

先求  位于第一象限内的点.

图 1-2

解方程组 $\\left{

\\right.\\ \\left{

\\right.\\ \\left{

\\right.\\ 于是得到A \\cap B在第一象限内的两点(1,a - 1),(a - 1,1)注意到集合A \\cap B中的元素满足的式子都是绝对值方程所以与第一象限内两点关于x轴、原点、y轴对称的个点仍然是A \\cap B$ 中的元素, 如图 1-2 所示.

下面讨论  取何值时,这 8 个点构成正八边形.

①若点  ,则点  . 于是 ,得<span data-formula=\"a = 2 + \\sqrt{2}\\left( a = 2 - \\sqrt{2} <span data-formula=\"a = 2 + \\sqrt{2}\\left( a = 2 - \\sqrt{2} 舍去.

②若点  ,则点  . 于是 ,得<span data-formula=\"a = \\sqrt{2}\\left( a = - \\sqrt{2} <span data-formula=\"a = \\sqrt{2}\\left( a = - \\sqrt{2} 舍去 .

综上所述,  的值为  或  .

评注 解本题的关键是用代数方法(解方程组)求出正八边形在第一象限内的两个顶点 的坐标,然后利用对称性求出顶点  的坐标,再利用 ,构造关于  的方程. 本题还有一种解法: 点集 中的点构成顶点为  的正方形的四条边; 对于点集  ,可将  变形为 ,所以点集 中的点构成四条直线  . 以下可以利用数形结合思想,请读者自行完成.

例 9

集合  满足下列条件:

①  .

② <span data-formula=\"A_{i} \\cap A_{j} = \\varnothing,1 \\leq i <span data-formula=\"A_{i} \\cap A_{j} = \\varnothing,1 \\leq i  .

那么称  为集合  的一个  划分.

求最小正整数  ,使得对  的任意一个 14 划分 ,一定存在某个集合 ,在  中有 2 个元素  ,满足 <span data-formula=\"b <span data-formula=\"b  .

(1) 若 <span data-formula=\"m <span data-formula=\"m  ,令,则 <span data-formula=\"\\forall b <span data-formula=\"\\forall b  , 14),均有 a > b\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> a > b\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\"> ,且  . 故 <span data-formula=\"b \\leq a - 14 <span data-formula=\"b \\leq a - 14  .

于是, 1 + \\frac{14}{42} = \\frac{4}{3}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 1 + \\frac{14}{42} = \\frac{4}{3}\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\">. 故正整数  .

(2)若  ,则对  的任意划分  ,数 中,必有两个数属于同一个  ,它们满足<span data-formula=\"b <span data-formula=\"b  .

综上所述,所求  的最小正整数值为 56 .

例 10

对集合 及其每一个非空子集,定义一个唯一确定的\"交替和\" 学习札记如下: 按照递减的次序重新排列该子集, 然后从最大的数开始, 交替地减、加后继的数所得的结果. 例如,集合  的\"交替和\"是 的\"交替和\" 是  的 \"交替和\" 是 5 等. 试求  的所有非空子集的 \"交替和\" 的总和.

分析  的非空子集共有  个,显然,逐个计算 \"交替和\"然后相加是不可能的, 必须通过分析\"交替和\"的特点, 寻找解决问题的\"窍门\". 为了分析\"交替和\"的特点, 可以先令 为某一恰当的具体的数 (如  ),这是解决数学问题的常用方法 (从特殊到一般的方法).

当  时,  ,非空子集共有 15 个. 它们的全部 \"交替和\"如下:

 ;

 ;

 ;

 ;

 ;

 ;

 ;

 ;

 ;

 ;

 .

从以上写出的 \"交替和\"中,我们可以发现,除集合  以外,可以把 的子集分成两类: 一类子集中包含 4 , 另一类不包含 4 . 并且可以在这两类集合之间建立一个一一映射: 设  是  的一个不包含 4 的子集,则令  与集合  相对应. 显然  与 的 \"交替和\"之和是 4. 由于这样的  共有 个,故 的所有子集的\"交替和\"的总和是  .

集合  的非空子集中,除去集合  ,还有 个非空子集. 现将这  个子集分成两类: 第一类是包含元素  的子集,第二类是不包含  的子集. 在第二类子集与第一类子集之间建立如下对应关系, ,其中  是第二类子集, 显然这种对应是一一映射. 设  的交替和为  ,则 的交替和为  ,这一对集合的交替和的和等于 ,故集合  的所有非空子集的\"交替和\"的总和是


方法导引与拓展

集合是一种数学基本语言, 要正确理解集合语言, 合理使用集合语言表示相关的数学对象,解决相关的数学问题. 在描述法表示的集合  中,有代表元素 及它所具有的性质  两项内容,不同形式的代表元素表示不同的集合 (如例 3 、例 7).

解决有关集合之间的关系问题, 要注意抓住元素这个关键, 同时不能忽视空集这个特殊情况, 否则极易漏解 (如例 2 、例 4).

集合问题是综合问题, 它可能涉及代数、几何、数论、计数以及其他数学内容和数学思想方法. 如例 3 、例 4 涉及函数、方程, 例 5 、例 8 运用了数形结合思想, 例 10 运用了映射思想等.

巩固练习

1. 定义集合运算: . 设集合 , 则集合  的所有元素之和为 ( ).

A. 0

B. 6

C. 12

D. 18

2. 设集合,则下列结论错误的是 ( ).

A. 

B. 

C. 

D. 

3. 设全集 ,则 .

A. 

B. 

C. 

D. 

4. 两个集合的关系为 ( ).

A. 

B. 

C. 

D. 

5. 集合  的并集  ,当  时,将 与  视为不同的集合对,则这样的集合对  的个数是 ( ).

A. 8

B. 9

C. 25

D. 27

6. 函数,其中  为实数集 的两个非空子集. 又规定  . 给出下列四个判断:

① 若  ,则  ;

②若  ,则  ;

③若  ,则  ;

④若  ,则  .

其中判断正确的有 ( ).

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

7. 已知集合,且  ,那么实数  的取值范围是___.

8. 已知集合  ,且  ,那么 的值分别是 ___.

9. 某班 41 名学生参加数学、生物、化学 3 个科目的考试, 考试不及格的学生人数如下表: 科目 数学 生物 化学 数学、生物 数学、化学 生物、化学 数学、生物、化学

三个科目都及格的学生人数是___.

10. 已知集合 0 \\right\\},B = \\left\\{ x \\mid x^{2} + ax + b \\leq 0 \\right\\},A \\cup B = \\{ x \\mid x + 2 > 0\\},A \\cap B = \\{ x \\mid 1 0 \\right\\},B = \\left\\{ x \\mid x^{2} + ax + b \\leq 0 \\right\\},A \\cup B = \\{ x \\mid x + 2 > 0\\},A \\cap B = \\{ x \\mid 1 ,那么  ___,  ___.

11. 已知非空集合  ,且当 时,必有  ,那么符合要求的 A 共有______个.

12. 已知集合,且  0\\} = \\varnothing\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0\\} = \\varnothing\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\"> ,那么实数 的取值范围是___.

13. 已知集合 0 },\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; cursor: pointer; overflow-wrap: break-word !important;\"> 0 },\" style=\"margin: 0px; padding: 0px; outline: 0px; max-width: 100%; overflow-wrap: break-word !important;\">$B =yy = \\frac{1{2} x^{2} - x + \\frac{5}{2},0 \\leq x\\leq 3} $ .

(1)若  ,求实数  的取值范围.

(2)当  取使不等式  恒成立的  的最小值时,求 .

14. 已知一个集合含有 10 个互不相同的两位数, 求证: 这个集合必有两个无公共元素的子集, 这两个子集的各元素之和相等.

15. 已知集合 ,其中  . 由 中的元素构成两个集合:, 其中  是有序数对,集合  和  中的元素个数分别为  和 . 若对于任意  , 总有  ,则称集合  具有性质 .

(1)检验集合  与  是否具有性质 ,并对其中具有性质  的集合写出相应的集合  和  .

(2)对任何具有性质  的集合  ,求证:  .

(3)判断  和  的大小关系,并证明你的结论.

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