解方程有什么难的？
如果您曾经上过代数或物理课，您就会遇到过抛物线，这是一条模拟球在空中轨迹的简单曲线。抛物线最重要的是它的顶点，即最高点或最低点。我们可以使用很多数学方法来找到它。你可以尝试顶点、对称轴，甚至微积分。
但上周，我的一个学生以一种特别巧妙的方式找到了抛物线的顶点。她说：“因为根关于顶点对称，即x=1 和x=7，所以顶点位于x=4 处。”她这样做是因为抛物线是二次多项式的图形，并且该多项式的根（以便多项式的值等于0）具有某种她可以利用的结构。
每个多项式的根都有一个结构，数学家研究这些结构并寻找利用它们的机会，就像我的学生研究抛物线一样。当谈到多项式的根时，没有什么比“单位根”更具结构性了。
单位根是(x^n) 1 形式的多项式的根。例如，当n=2 时，我们得到二次多项式x 1 。要找到它的根，只需让它等于0 并求解方程：
x 1=0
也许您还记得因式分解公式：a b=( a b )( a + b ) 。在这里它分解为：
x 1=( x 1 )( x + 1 )
这样我们就可以得到
(x 1)(x + 1)=0
现在您的乘积等于0，您可以调用代数中最被低估的规则之一，——“零生产率”：两个实数可以乘以0 的唯一方法是其中一个为0 。如果( x - 1 )( x + 1 )=0 ，则我们得到x 1=0 或x + 1=0 。当x=1 时，第一个方程成立；当x=-1 时，第二个方程成立。所以，1和-1是上式的两个单位根，相当于1的两个平方根。
对于任何n ，您可以找到n 个单位根，它们是方程x^n 1=0 的解。这些单位根具有非常丰富的结构，与高中数学中的三角学和平面旋转相关，以及研究现代数学中一些尚未解决的重大问题。
当n=2时，两个根1和1具有对称结构，这与我的学生如何找到它的顶点有关。您可以在方程x=1 的解中看到更多结构。因为1=1 和( 1 )=1，所以x=1 和x=1 都满足该方程，因此它们是第四单位根。但实际上还有两个根，你可以像我们上面那样用代数方法找到它们：
x=1x 1=0
由于x 和1 都是完全平方数，因此您还可以在此处使用平方差公式：
x 1=( x) 1=( x 1 )( x + 1 )
这将等式x 1=0 更改为：
( x 1 )( x + 1 )=0
x 1 应该看起来很熟悉：我们在求解二次单位根时将其因式分解。由此我们可以得到：
( x 1 )( x + 1 )( x + 1 )=0
我们现在不能继续分解它。表达式x + 1 在实数上不可约，这意味着它不能分解为仅涉及实数的低次多项式乘积。但我们仍然可以应用零乘积性质。如果这三个数相乘等于0，则其中之一必须为0。即x - 1=0、x + 1=0 或x + 1=0。
前两个方程告诉我们，x=1 和x=1 是方程x=1（第四个单位根）的解。那么x + 1=0 该怎么办呢？
如果您知道复数，那么您就知道虚数单位i 。 i 满足该方程，因为它被定义为i=1 。 i 不是实数，因为没有实数的平方是负数，但事实证明大多数单位根都是复数。由于x=i 满足x + 1=0，因此它一定是第四个单位根。您可以使用一些指数规则轻松验证这一点：由于i=1 ，则i=( i)=( 1 )=1 。由于复数遵循实数的大部分规律，所以( i )=i 成立，可见x=i 也满足x + 1=0，即x=i 也是第四个单位根。
1 、 -1 、 i 和-i 这四个数都是四阶单位根，这四个根不是偶然的。代数基本定理告诉我们，每个n 次多项式都有n 个复根。所以方程x^n=1 有n 个复解，都是n 个单位根。 （因为实数也是复数，所以像1 和-1 这样的实数解也包含在复数解中。）
对于给定的n ，第n 个单位根具有一些值得注意的属性。从几何上讲，如果在复平面上绘制n 个单位根，您会发现它们围绕以原点为中心的单位圆等距分布。
复平面中n 个单位根的图
这种几何结构与三角学中的重要思想密切相关，如正弦和余弦的角和差公式、平面旋转理论、自然对数函数的底e等。这个几何还与一个有趣的代数性质有关：对于任何n ， n 单位根之和为0 。
对于n=2 ，显然： 个二次单位根之和为1 + ( 1 )=0 。我们还清楚地看到四个四次单位根之和为0 :
1 + i + ( 1 ) + ( i )=0
在这两种情况下，很容易看出为什么总和为0：单位根成对出现，当你将它们相加时，它们会抵消。
然而，即使根不是成对出现，这个结果仍然成立。例如，三个立方单位根为1 、 1/2 + 3 i /2 和1/2 3 i /2 。两个非实数根不会抵消，它们的和为-1，然后与剩余的实数单位根抵消，得到0：
1 + ( 1/2 + 3 i /2 ) + ( 1/2 3 i /2 )=0
您可以用几何方法证明这个性质，但也有一个简单的代数证明可以证明这个性质是正确的。我们将这三个立方单位根称为1、 和。这三个数都满足三次方程：
x3 1=0
由于您知道该三次方程的根，因此左侧的多项式可以写为：
( x 1 )( x )( x )=0
如果使用分配律将此方程乘以几次，您将得到以下结果：
x ( 1 + + ) x + ( + + ) x =0
因为我们已经知道多项式的乘积应该对应于： x3 1。所以x3 ( 1 + + ) x2 + ( + + ) x 等于x3 1 ，这意味着左侧x 项的系数1 + + 等于右侧x 项的系数0 。因此1 + + =0 ，因此三个立方根之和为0 。
这个论证推广并产生了著名的结果——“韦达定理”，它给出了多项式的根和系数之间的关系。吠陀定理之一指出，在以x^n 开头的多项式中，多项式根之和等于x^n 1 的系数的负数。类似于x^n 1 的形式，该形式以x^n ， x^n 1 的系数为0 ，因此多项式的根之和为0 。
当涉及单位根时，还有一个更值得注意的代数结果。对于给定的n ，如果 和 是第n 个单位根，则 也是第n 个单位根！如果 和 都是第n 个单位根，那么我们可以得到^n=1 和^n=1。那么( )^n 会发生什么呢？
一般来说，在计算复数幂时需要小心，但由于n 被假定为第n 个单位的整数根，因此指数的基本规则仍然适用，如下所示：
( )^n=^n ^n
所以( )^n=^n ^n=1 1=1 。这意味着 满足方程x^n=1，因此是第n 个单位根。例如，当n=4 时，如果将两个单位根i 和1 相乘，则会得到另一个第四个单位根： i (1)=i 。当n=3 时，您还可以验证两个非实根和一个实根的乘积：
( 1/2 + 3 i /2 ) ( 1/2 3 i /2 )=1
这个性质在n 个单位根上产生了极其丰富的代数结构：“群”结构。
群是一种代数结构，由一组元素（例如这里的第n 个单位根）和一个运算（例如这里的乘法）组成，并且满足一些熟悉的性质。群的一个性质是闭包，正如我们刚才所证明的，这意味着两个第n 个单位根的乘积始终是另一个第n 个单位根。群的另一个重要性质是逆元素的存在。这意味着对于任何第n 个单位根，总是存在另一个第n 个单位根，使得这两个单位根的乘积为1。例如，当n=4 时，i 的倒数为i，因为i ( i )=( i)=( 1 )=1 ，在三阶单位根中， 1/2 + 3 i /2 的倒数恰好为1/2 3 i /2 。
群的研究是伽罗瓦理论的基础。伽罗瓦理论用于研究与多项式及其根相关的抽象代数结构，属于高等数学领域的研究范围。您可能知道二次根求公式，或者您可能知道三次和四次根求公式，但没有通用公式可以求5 次或更高次多项式的根。伽罗瓦理论研究与多项式的根相关的群。快来帮忙解开这个谜团吧。
由于第n 个单位根具有自己的群结构，因此它们在伽罗瓦理论中发挥着重要作用，特别是因为这种结构易于使用。单位根群满足交换性，这意味着您可以交换两个相乘对象的顺序而不改变结果，并且它们始终是“循环的”，这意味着您始终可以将单个元素与自身相乘。生成整个组。
在伽罗瓦理论中，与交换群相关联是从探索多项式中获得的一个非常好的属性，并且单位根的影响远远超出了x^n 1 形式的多项式。事实证明，任何与交换群相关联的多项式伽罗瓦理论中的群的根可以表示为不同单位根之和。从某种意义上说，单位根构成了数学某一领域中所有多项式的基础。 1900年，大卫·希尔伯特提出了23个数学问题，指导了未来100年数学探索的方向。将单位根的作用扩展到其他数学领域是希尔伯特第十二个问题的目标。现在，一个多世纪过去了，人们仍在研究第12个问题，并取得了一些进展，但数学家们还没有完全解决这个问题，也许很快他们就会找到问题的根源。
翻译：抄送
审稿人：努尔
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用户评论
小时候老师说解方程很简单，结果我感觉自己像在解谜！
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我觉得这篇文章说得对，很多时候我们自己给自己加了太多的心理负担。
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我也是觉得学数学的时候总把自己逼得太紧了，其实放轻松就能发现问题不是那么难的。
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这个文章说的很真啊！我经常被方程困扰好久，完全是心态的问题吧！现在试着多练习确实好多了。我感觉数学真的就像一个游戏一样，只要学会了规则，就好了!
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解方程的关键在于理解问题本身，而不是单纯记忆公式。这篇文章说的太棒了！
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说实话，我觉得有些题目还是很有挑战性的啊。不能说解方程有什么难的。
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这个观点我持不同意见，我认为基础知识掌握扎实才容易解决方程问题。如果底子薄，再想解方程也费劲不是？
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我觉得还是要根据自己的理解水平来判断难度，不要盲目自信！就像学习任何一个学科一样，要循序渐进才能取得进步。
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解方程其实是一种逻辑思维的锻炼，多练习就能提高解决问题的能力。这篇文章说得很有道理！
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我觉得“解方程有什么难的？”这句话有点过于绝对了。不同的人有不同的理解能力和学习方法，不能一概而论。
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很多时候，我们就是把自己过分紧张才会觉得困难重重，试想把学习当成玩游戏一样，乐趣自然会增加
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文章说得对啊！解方程的关键是找到规律，而不是盲目套公式。就像生活中遇到问题，也要思考根源，找到解决的办法。
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我是觉得这篇文章没说明白点啊！不同的函数、不等式当然难度不一样啊。有些高深的数学，真的不容易理解呀！
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我觉得解方程的关键在于理解公式的含义，而不是死记硬背。用通俗易懂的话解释，更容易让我们理解问题!
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"解方程有什么难的"？这完全取决于你对数学的认识和掌握程度啊！有些人可能觉得很简单，而有些人可能需要花时间去学习和积累经验。
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真的觉得有时候学数学就太抽象了，总是记不住公式，也很少理解其中的原理。想把方程解出来好像很难
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同意文章观点！思维方式转变很重要啊！很多时候把问题想复杂了反而解决不了。 要多从轻松、积极的角度思考问题！ 这篇文章让我受益匪浅啊!
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