探索数学证明：独特的科学叙事方式

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数学证明的本质是什么？它是由从毫无疑问正确的前提到毫无疑问正确的结论的逻辑链组成的技术文本吗？这个问题对于持有绝对主义数学概念的数学家和哲学家来说似乎有些多余。然而，20世纪以来数学的发展，特别是随着绝对主义和基础主义数学信仰的破产，迫使人们重新审视数学证明的本质这一看似简单实则相当复杂的科学解释学问题。通过多角度考察数学证明的结构，并分析几个数学证明的典型案例，可以得出这样的结论：从来不存在一个不变的、永恒的、绝对的、形而上的数学证明的元叙事模型。数学证明是具有特定语义内涵和语法结构的科学叙述，其意义随着知识和范式的变化而不断变化。它具有鲜明的准逻辑性、文本性和文本修辞性。所谓“准逻辑性”，是指由各部分组成的超越纯逻辑界限、包含逻辑核心的“合金”形式；就文本性而言，数学证明的本质展现了一种新的语言解释学，就属性而言，它是一种基本的科学语言解释体系；从文本修辞的角度来看，数学证明的一个重要功能就是说服力。数学证明用来说服自己和他人的修辞技巧已经成为数学证明中具有明显主体间性的社会语言策略。数学证明作为一种特殊的科学叙述，验证和捍卫数学知识的相对独立性、数学真理的相对客观性以及数学方法的自足性、局部性和普遍有效性。

1. 从数学上证明“元叙事”的起源、兴衰

在数学发展的漫长历史中，数学证明作为知识合法化的有效途径，并不缺乏对宏大“元叙事”的追求和迷恋。为了讨论方便，首先定义数学中宏大叙事或元叙事的概念。数学中的宏大叙事或元叙事是指那些宏大而雄伟的数学计划，想要涵盖一切并彻底解决所有相关问题（实际上无法完全实现）。近代，笛卡尔的“通用代数方法”和莱布尼茨的“通用语言”概念就是这样的两个模型。在笛卡尔时代，“通用数学”一词用来指代数和几何等学科，它们为可靠运算和其他可测量和计算的量提供了定律。 [1]按照莱布尼茨的说法，“Mathesis universalis”的含义是普遍数学或普遍科学。 19世纪末，弗雷格提出了将数学还原为逻辑的计划，后来被罗素和怀特海系统地表述为逻辑主义计划，也是数理逻辑中元叙事的典范。

追求知识的系统性、完整性和统一性，构成了不同类型数学“元叙事”的共同特征。 20世纪初，希尔伯特提出了证明论的思想，达到了数学证明“元叙事”的顶峰。它是数学语言学真正意义上的数学“元叙事”。 “元数学”的本意是试图超越数学的更基础的数学元知识。希尔伯特在其著名演讲《论无穷大》中表达了数学基础具有数学知识最高权威的元数学观点：“从某种意义上说，数学已经成为一个仲裁法庭，一个决定基本问题的法庭。——最高法院有一个每个人都可以同意的具体基础，并且每个陈述都可以在此基础上受到控制。”[2]230。 1930年，希尔伯特给出了证明的A标准形式主义定义：“证明是由一组公式组成的程序，其中公式要么是公理，要么是由先前的公式按照一定的推理规则得到的”[3]。然而，这个定义过于理想化和简单化。这只是20世纪初基于形式逻辑视角的一种幼稚而理想化的数学证明观点。真正的数学证明实际上很难达到完全的纯粹性。事实上，这种具有终极意义的宏大叙事或元理论的基本立场在哥德尔1931年发表著名的“不完备性定理”之后就彻底失败了。

作为数学基础主义和元程序的典范，形式主义者将数学“元叙事”推向了极致。后来布尔巴基的结构主义思想是标准数学意义上的“宏大叙事”。与形式主义相比，结构主义模式中的“元”色彩减弱了，但“宏伟”却增加了。自1935年成立以来，尽管布尔巴基的成员不断变化，但该学派的宗旨始终如一，那就是“着手将整个数学置于一个统一的、普遍的、然后非常抽象的基础上”[4 ]。布尔巴基学派计划完成一部百科全书式的数学巨著—— 《数学原理》，以便对所有现代数学进行彻底的整理和讨论。从1939年到1967年，布尔巴基共出版了33卷《数学原理》，每卷约100-300页，[5]可谓一部宏伟的杰作。可以说，作为一场后基础主义运动，布尔巴基运动可能是数学发展史上最后一个真正宏大的元叙事纲领。在经历了半个世纪的辉煌之后，布尔巴基在1983 年出版了最后一本书后陷入了沉默。

为什么形式主义、结构主义等宏大的“元叙事”会走向衰落？究其原因，在于形式主义规划的突出特点是对数学“元知识”的迷信。事实上，将数学知识问题提升到“元知识”层面来解决数学知识问题，是一种高超的数学思想和策略。然而，过于强烈和苛刻的命题却给自己造成了难以逾越的认识论障碍。在结构主义中，形式结构体系受到青睐，而难以构造的数学对象和实体则被贬低和排斥，这自然给自己设置了局限性和盲点。

无论是形式主义还是结构主义，严谨性都是数学知识可信度的重要指标。这种纯粹的数学严谨性的内部标准受到了许多方面的批评。著名数学家W.瑟斯顿指出：“当数学家做数学时，他们更多地依赖思想的流动和社会标准的有效性，而不是形式证明。” [6] 在那里，数学传统的严谨性受到了思辨数学倡导者的严重质疑。其代表人物A. Jaffe和F. Quinn在引起巨大反响的第《假设数学：走向数学和理论物理的文化综合》号文章中，主张将数学分为由证明建立的“严格数学”和由证明建立的“严格数学”。 “理论数学”建立在推测和直觉的基础上，并论证了允许“推测数学”存在的理由。 [7] 在第《证明和数学中的革命》号文章中，Jaffer还特别批评了布尔巴基的形式论证，认为随着数学的发展，人们越来越感到需要放宽严格证明的标准，而“在另一个方向上，来自柯西的钟摆”布尔巴基的观点已经摇摆得太远了”[8]。

从后现代哲学的角度来看，以形式主义和结构主义为代表的基础主义元话语恰好是许多后现代主义者解构的思想范式。法国哲学家J·F·利奥塔从后现代哲学的角度否定了元叙事的合理性：“我们不再相信有一种特权叙事能够一劳永逸地捕捉最基本的话语真理。元话语。 ……所谓元话语只是所有话语中的一种。” [9]333 法国哲学家福柯主张放弃对知识基础和知识体系的追求，强调去中心化世界的重要性。作为解构主义的著名代表人物，法国哲学家德里达秉承尼采、海德格尔的反形而上学立场，发起了追求普遍性和本质的“逻各斯中心主义”的解构。德里达在《书的结尾与词的开始》一章中描述了“逻各斯”在西方思想传统中的长期统治地位：“一切决定真理的形而上学因素，甚至是海德格尔所提醒的超验形而上学本体论神学的要素，无论从前苏格拉底或哲学的意义上、在对上帝的无限理解或人类学的意义上、在前黑格尔或后黑格尔的意义上，或多或少地理解这个词的含义——与理则密不可分，或者与理则的线性发展密不可分，在理则中，与言语的原始和本质的联系开始了，没有中断”[10]100。结构主义是数学“逻各斯中心主义”的典型表现，它们的衰落也清楚地证明“元叙事”难以为继，从而“另类、多元化”的数学文化形态和多元数学范式的建立解构了宏大叙事唯一绝对的数学概念和真理的存在。” [11]

2. 数学证明中的“经验话语”与“准逻辑”配置

数学证明“元叙事”计划的全面破产，不仅印证了后现代主义者对“元叙事”质疑的普遍合理性，也促使人们重新审视数学证明的本质，尤其是那些已经被人们所忽视的数学证明。长期被忽视、贬低和鄙视。非宏大和非元叙事性质。为此，有必要重新分析数学证明的叙述性质和结构。相对而言，在所谓严格的（如形式化的）数学证明结构中，从原命题（公理）到基本命题的推导基本上是由环环相扣的逻辑程序组成的推理链。如此设想的数学证明排除了叙述，即超出或溢出逻辑框架的数学话语。不幸的是，严格的证明过程和结构并不是无缝且无叙述性的。从出发点来看，除了数学中有些概念是原始定义，无法严格定义，有损数学证明的可靠性外，还有一些类型的定义在逻辑上也不是很顺畅。例如，非直接定义（1）就有循环定义的嫌疑，很难在逻辑上自圆其说。

比定义更棘手的是公理的合理性问题。拉卡托斯认为，数学证明的逻辑结构中最薄弱的环节之一是其初始部分，例如公理系统的初始选择。任何解决这一薄弱环节的努力都将导致无限倒退。由于必须避免“无限回归”，因此必须确定一些无法证明的假设和前提，例如公理和原始定义。著名数学家庞加莱指出：“几何对象的同一性并不是由公理强加的逻辑结构决定的：它只是一种默认的假设；它是一种先于逻辑的不言而喻的陈述。并且‘先验’的存在。 ” [12] 61-62 既然我们不能陷入无限回归，某些假设就必须被视为无法再追究的事实。这是一条公理。那么哪些“事实”和“经验”陈述可以作为公理呢？应选择多少项“刚好足够”（以产生大部分预期结果）？这些都很难思考，也很难达成共识。在传统的数学概念中，数学公理至少应该满足可靠性、自明性和与直觉一致的条件。然而，这些标准都不是绝对可靠且不容置疑的。首先，公理并不那么可靠。公理远非被视为理所当然和不可动摇的数学教条。有些公理实际上可以用与其相反的原命题代替，得到新的公理系统。其次，公理并不是那么不言而喻。自从非欧几里得几何的出现以来，人们不再能够以不证自明的方式来看待公理。第三，公理及其推论并不总是完全直观的。庞加莱相信：“在我看来……关于无限集的命题不可能是直观上显而易见的。” [13] 73 更重要的是，公理的本质不仅仅是事实陈述；更是事实陈述。包含定义，正如庞加莱指出的：“几何公理只不过是隐藏的定义”[14]46。

非正式证明也是一种典型的“准逻辑”配置。在当代数学中，实用性有时取代严谨性作为数学可接受性的标准。例如，在理论物理学中，严重依赖和使用数学，而这里的严谨性标准大大降低。以数学物理方程为例，很多方程的解并不是严格推导出来的，而是尝试和假设的结果，因为与现实相符而被接受。这种非正式的验证已成为一种有效的标准。在被称为“时髦数学”的实验数学中，形式化和严谨性的价值已被大大忽视，取而代之的是使用计算机进行的数学实验。 [15]我们将这些不具有严格逻辑意义的证明形式称为“准逻辑”配置。由于思辨数学、实验数学等非形式化证明在数学知识的创造和建构中不可避免，并且由于形式化证明的固有局限性，数学中的所有证明形式都不是一个完美、无缝的逻辑链条。许多空白都是通过数学直觉和经验来填补的。

进一步看，很多时候数学家所认可的数学原理或逻辑规则可能并不完全一致。这种不一致还会导致关于哪些命题正确以及哪些证据得到认可的认知差异。美国数学家R.L.怀尔德曾明确表达过他对绝对证明标准是否存在的怀疑：“显然我们不会、也许永远不会有任何这样一种能够独立于时代、独立于时代的证明标准。所证明的内容与使用它的人或思想流派无关。在这种情况下，明智的做法似乎是承认数学中不存在绝对真理，而不去思考它是什么。怀尔德以公理和连续统假设为例写道：“应该承认，如果不使用上述一个或全部原理，就无法证明许多数学实体的存在”[16]。事实是，许多直觉主义者不接受在他们的论证中使用“实无穷”和有争议的“选择公理”等公理和原理所获得的证明，事实上，将数学限制在严格和苛刻的标准上只会导致窒息。数学的发展。也许我们必须容忍一些数学理论和知识可能只有非常有限的严谨性。数学要想取得进一步的发展，其本体论和认识论与其他科学知识的融合将是不可避免的。

3.数学证明中的文本修辞和解释学意义

随着不同时代数学范式和社群的演变，数学证明构成了一个复杂的描述、论证和修辞的话语表达系统。无论是经验验证还是逻辑证明，其本质都不可避免地具有修辞性和解释性。所谓“修辞”在《辞海》中被定义为“利用各种语言材料和各种表现手法，恰当地表达说话人想要表达的内容的言语活动”[17]292。再加上数学证明固有的不言自明和解释性特征，数学证明就具有特别独特和突出的修辞学和解释学含义。

我们把数学中的语篇修辞方法看作是一种在论证中更具感染力的话语表达方法，以便更有效地传递数学信息，表达数学思想。例如，人们通常认为经过逻辑处理或更普遍的公理化、符号化或形式化的数学系统会表现出更高的可信度，因为公理化等数学工具在人们心目中具有更高的可信度。修辞说服力强。一个权威数学家的声音无疑比一个默默无闻的后辈要高得多。这里，“修辞”的含义不仅限于一般语言学意义上的“修辞”（即词语的修饰和语言技巧），还包括自身知识的语境变化和语言的默认含义。例如，从简单概念到精炼概念的转变、集合概念从简单到公理化的语境转变和升华、从实质性公理到形式公理的演变等，都是有关概念语境和公理表达方法变化的知识。模型；又如，从悖论概念到逻辑概念，如经典实数系统中无穷小量概念的语言非法性到非标准分析中通过构建新的实数模型而获得的合法性。上述例子都表明，随着数学话语修辞的不断增多，其理论说服力也在不断提高。因此，数学的修辞特征本质上是数学知识发展演化过程中语言维度变量与知识可信度相互作用的体现和投射。

如果我们仅仅把数学证明理解为一种特殊的修辞学，并不足以揭示数学证明的全部本质。数学证明也是数学家为了说服别人相信自己的结论而构建的解释学方法，就像一个精彩而完整的故事告诉人们一个事件或人物的开始和结束一样。与数学证明的修辞学相比，数学证明的解释学具有更广泛、更深层次的语义能指。比普通文学故事的陈述结构更为复杂的是，数学证明的本质功能之一就是为某个命题的正确性提供法律解释或解释，即说服自己并向他人展示为什么某个命题的正确性。声明属实。有些数学事实和判断（命题）确实是正确的。在这个过程中，如何让证据令人信服就成为关键。英国著名数学家哈代在他的文章《数学证明》中表达了数学证明的这一特点：“对于一个数学家来说，对一种哲学的决定性考验是它应该对命题和证明给出一些合理的解释。”[18]在这样，数学证明就不可避免地带有群体性的认同感、主体性和主体间社会惯例的色彩，我们称之为“文本现象的修辞和解释”。应该看到，这种修辞学和解释学现象也随着数学知识的复杂化而出现了日益先进和复杂的修辞形式和文本结构。

在文章《证明就是说服和解释》中，R. Hersh首先指出了英语中prove这个词的基本含义，即实验、测试、确定事物的真实状态。然后他提出了数学中“证明”一词的两种含义：一是通常意义上的“证实适当判断的论证”，二是专业数理逻辑意义上的“按照谓词演算规则进行的”。正式语句转换的序列”。赫斯认为“在数学研究中，数学证明的首要作用是具有说服力”。赫斯还认为，数学除了可以说服人们之外，还可以解释。 [19] 数学证明怎样才能令人信服？这个问题不仅关系到证明中所呈现的数学事实的确定性和推理的合法性，而且还关系到数学证明中经常使用的叙述和修辞技巧。欧内斯特认为，数学证明实际上是修辞性的、有说服力的语言，旨在说服其他数学家。 [20]183

数学证明的文本合法性是建立在并依赖于当前数学界的信仰和相对一致的话语体系和标准的。数学家Y. I. Manin 认为，“数学证明之所以被接受，是因为它们说服了个体（尤其是数学界的适当代表），并让这些个体相信它们提供了充分的理由，而不是因为它们满足了外在的、客观的证明逻辑规则。”[20]46一个命题的数学证明始于数学家自己凭直觉坚定地相信或相信这个命题是正确的，然后他必须找到一种让其他数学家和其他人能够接受的方法，即证明的文本构造。毫无疑问，一个写得优雅、流畅、有说服力的证明比一个粗糙、难以使用、充满语法错误的证明更容易获得广泛的认可，著名数学家阿蒂亚认为，“如果你想让别人理解。论证的基本结构，原则上应该简单而优雅。在数学框架内，简单和优雅是最容易吸引人类思维的东西。 ”[21]英国著名数学家哈代甚至表达了数学证明只是门面的观点：“严格来说，根本不存在所谓的数学证明；……归根结底，我们只是指出一些要点； ……利特伍德和我都认为证明是无稽之谈，是为了给某人留下深刻印象而编造的一堆花哨的词语，用于在讲座中演示的图片和动机。小学生想象力的工具。” [22] 323尽管哈代的观点有些极端和片面，但它说明了数学证明的某种修辞学和解释学性质。

H. R. 斯玛特指出，在日常口头和书面表达中，以及在法律、历史甚至科学文献中，“普遍存在将演绎等同于推理的倾向，而这两个词的含义之间的区别非常模糊。 ” 。在科学文献和许多其他表达方式中，有诸如“从上述事实我推断出以下命题”之类的表达方式； “从这些精确且经过验证的观察中，可以推断出这样那样的定律”； “根据我推断的给定前提，你不能得出这样的推论”[23]。19世纪末，持有形式主义或逻辑主义信仰的数理逻辑学家相信，他们可以从然而，这种看似排除任何修辞的逻辑纯粹，实际上只不过是一种虚幻的绝对主义信条：“科学推理过程的建立和合法性不能通过与科学推理过程相同的过程来完成。”本身。” [23] 这意味着，因为会陷入恶性循环，必须按照同样的逻辑原理来推演过程，所以数学推理和证明不可能完全归位。在与修辞学和解释学无关的纯逻辑圣地。

4.数学证明不同于普通叙述的独特性

数学证明作为一种特殊的科学叙事，不能等同于多视角、多语境下的普通叙事模式。其不同于一般叙事的独特性也彰显了数学知识的话语性。

首先，数学证明作为数学文化最显着的理论特征之一，证明了数学知识在语言系统中的相对独立性和数学作为自治真理的相对客观性。这种相对独立性可以称为数学证明的独立叙述性特征。作为波普尔世界的典范，数学界会在一段时间内形成相对稳定的共同体“宣言”和制度纲领。这意味着，一旦某种理论框架被认可，其相应知识的语言表达、结构的演变、扩展和完善就会具有相对的“自制”和“客观”性质。这时，个人喜好、情感等主观色彩就会被数学知识的客观性吸收、规范和引导。例如，1930-1931年哥德尔不完备定理的出现就是一个典型的例子。当希尔伯特等数学家努力完成形式主义的基本目标时，哥德尔不完备定理诞生了，希尔伯特的纲领遭受了巨大的打击。那些相关的数学大师，比如伯尔内斯，虽然内心仍然有抵触，但也会接受自己工作中的错误。 1939年希尔伯特和伯奈斯出版的第《数学基础》卷第2卷中，首次给出了哥德尔第二不完备定理的完整证明。

其次，数学证明涉及语义、语法、词汇、数学语境等多个要素的交互性。甚至可以说是由语义、语法、词汇和语境的交互性决定的。数学哲学家亨佩尔断言：“数学的正确性既不依赖于所声称的不证自明，也不依赖于任何经验基础。这种正确性来自于决定数学概念含义的约定，因此数学命题本质上是根据定义而成立的。” ”。 [24] 223 例如，“2+2=4”作为一个命题是否正确，取决于该命题所涉及的所有项的规定。例如，在二进制数字系统中，唯一可识别的数字是0和1。 “2+2=4”是一个无意义的公式，因为2和4是二进制中无法识别的非法符号，而如果是在三进制中，则“2+2=11”，4是无意义的。三元系中的符号，“2+2=10”是集合论语言中的正确公式，如果用N0来表示有理数集合的基数，那么加法的运算规则。就是N0+N0=N0，也就是说，2N0=N0，nN0=N0，如果对应上面的形式，就有2N0+2N0=N0，这里就是普通的加法公式“2+2=4”。 " 也是无效的。向量相加，遵循平行四边形法则。两个长度为2 的向量相加，结果就是平行四边形的一条对角线（方向相同）的长度。因此，一般为2+2小于或等于4，即2+24。维特根斯坦敏锐地指出：“如果在算术中，一个人想要在流行的公理上加上，例如，22=5，会怎么样？这自然意味着：现在恒等符号改变了它的含义，也即，现在适用于不同的规则。”身份符号。”[25]17从上述分析可以看出，没有任何一种普通的叙事模式能够在数学上证明具有如此多样化和复杂的语言交互性的叙事。

再次，数学证明的方法论自足性、专业性和局部性也是其区别于普通叙事模式的显着特征。数学证明方法是在数学发展过程中逐渐形成的。数学证明方法的自足性有两个基本含义：一是不依赖于其他学科和知识的叙述方法和判断标准，而是自成一体、自足的。其次，数学证明的方法是自洽的，即它的意义和例子都在数学本身的范围和限制之内。就前者而言，与自然科学和人文社会科学中判断知识和真理的标准不同，数学证明有自己的一套叙述规则、方法和模型。在后一种情况下，数学证明的叙述模式是特定领域的、局部有限的且高度专业化的。以专业化为例。高度专业化是数学发展的基本特征，这也带来了数学证明方法的专业化。许多专业数学领域都有自己独特的方法。例如，G. Gentzen 在允许超有限归纳的前提下证明了算术的不矛盾性。这种宽松的希尔伯特元理论后来发展成为证明论的一个分支并相应发展。为了证明连续统假说的独立性，美国数理逻辑专家P.J.科恩创造了“强迫法”。 20世纪60年代初，科恩通过创建“集合论强迫方法”解决了连续统假设与ZFC公理系统的协调性和独立性问题(2)。后来，A. Robinson将力强迫方法引入模型论，并创造了模型论中的两种方法：有限力强迫和无限力强迫。后来各种模型、理论、方法层出不穷。模型理论也因此获得了长足的发展。

数学证明独特的叙事特征，不仅从语言意义上区分了数学与文学、历史、诗歌、艺术等传统人文学科，而且在真理验证、话语呈现、表征等方面厘清了数学与自然科学的关系。数学证明作为一种特殊的科学叙事，不仅为叙事这一古老而又充满活力的话语表达形式增添了新的内涵，而且从叙事的本源和真义中获得了科学解释维度上的新意境。

[参考]

[2] 保罗·贝纳塞拉夫，希拉里·普特南。数学哲学[M]朱水林等译.北京：商务印书馆，2003。

[9]史蒂文·塞德曼。后现代转向[M]吴士雄译.沉阳：辽宁教育出版社，2001。

[10]王安民，等。后现代性哲学话语[M]杭州：浙江人民出版社，2000。

[11] 黄启南.国际数学教育的社会文化研究趋势及中国研究者的工作[J].数学教育学报，2018，27（3）。

[13]庞加莱。最后的沉思[M]李醒民译.北京：商务印书馆，1996。

[14]庞加莱。科学与假设[M]李醒民译.北京：商务印书馆，2006。

[17]辞海编委会辞海[M].上海：上海词典出版社，1999。

[22]克莱因·M.数学：确定性的丧失[M]李洪奎译.长沙：湖南科学技术出版社，1997。

[24]卡普尔。数学家谈数学的本质[M].王庆仁译.北京：北京大学出版社，1989。

[25] 维特根斯坦。数学基础研究[M]韩林河译.北京：商务印书馆，2013。

2019年第4期P149-156页

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