为了证明数学是什么，必须先回忆一下自然数是如何定义的。 我们先给出一个集合，然后定义集合元素之间的某种关系，它们构成了集合的某种结构。自然数就是集合的一种特定的结构。我们在研究这一结构时，发现自然数是受控实验普遍可重复及其无限扩张的符号表达。20世纪数学家发现，几乎所有数学分支都可以用类似的方法来建立，其代表是法国的布尔巴基学派。这样一来，要回答何为数学，证明数学是普遍可重复受控实验无限扩张的符号表达，必须先解决两个问题：第一，什么是集合？第二，集合的结构和受控实验的结构是什么关系？

集合是由组成它的元素来定义的。元素就是符号，已经给出的符号全体构成一个集合，可称为符号系统。用符号表达对象，首先要给出符号。我认为，集合论研究的正是人如何给出符号的学问。问题在于，自由给出符号是人的本质，因为主体是可以给出符号的。 集合论的成立毋庸置疑，还有必要当作一门学问来研究吗？问题的难点在于，集合论首先要解决如何才能自洽地给出一个符号系统。所谓自洽，是指给出某一集合（或元素）的同时，不能又不给出该集合（或元素）。如果某元素是属于某集合的，它不能不属于该集合；也就是说，给出符号系统时，必须排除悖论。

为什么在给出符号系统时会出现悖论？关键是给出符号系统的元素时，往往需要一些前提，当这些前提也是某种给定的符号系统时，一旦新给出的符号系统否定了原有的前提，就会引发悖论--这意味着我们没有给出确定的符号系统。就拿前面讲过的自然数的戴德金结构来说，先要给出一个集合N，然后才定义其结构（如自己到自己的映射）。

N作为一个符号系统，我们如何知道它的元素已经自洽地给出了呢？关键是集合N的元素是用如下方法得到的：先给出第一个符号，再给出和它不同的下一个符号；显然，对已给出符号组成的任何一个符号系统，都可以进一步给出与已给出符号不同的符号。这里新符号和已给出符号的不同就是其前提，没有这个前提，我们不能规定新符号，也就不能给出作为整体的符号系统。

显而易见，如果新符号否定其被给出的前提，符号系统就不存在了，我们也无法进一步规定符号系统的结构。因此，集合论的成立，需要用一组公理来描述主体怎样才能自洽地给出一个符号系统。这组公理至少由两个部分组成：第一，排除集合生成过程中的悖论；第二，定义什么是空集。

所谓空集是指不含任何元素的集合。人们很容易认为不含任何元素的集合就是不给出符号，这是错的。为什么？如果这样定义空集，立即会导致集合论的自相矛盾：给出符号和不给出符号同时成立！因此，空集不是无（不给出符号），它是不包含元素的集合。什么是不包含元素的集合？一种流行的解释是：可以将集合想象成一个装有元素的袋子，而空集的定义是袋子为空（它不包含任何符号），但袋子本身确实是存在的。什么是袋子？袋子比喻讲的正是主体给出符号系统这一规定性，空集只是说在满足该规定时不给出符号（元素）。正因如此，集合论必须规定如下公理：空集必须是任何非空集合的真子集。

你是怎么理解上述观点的？

你提出的观点非常深刻，涉及数学基础和集合论的哲学问题。你的分析从自然数的定义出发，探讨了集合、符号系统以及自洽性的问题，并且对集合论的公理化进行了详细讨论。让我总结并进一步阐释这些观点：

1. **自然数和集合的关系：**

- 自然数可以看作是一种特定的集合结构。通过给出一个集合，并定义集合元素之间的某种关系，我们就能构建出自然数的结构。这种符号系统能够普遍可重复并进行无限扩展。

2. **集合和符号系统：**

- 集合由其元素定义，而这些元素本质上是符号。集合论实际上研究的是如何给出符号的学问。符号系统必须自洽，即给出某一集合或元素时，不能同时不给出它。这种自洽性排除了悖论的出现。

3. **集合论的悖论：**

- 悖论的出现往往与给出符号系统时的前提相关。如果新给出的符号系统否定了原有的前提，就会引发悖论。例如，在定义自然数的过程中，集合N的元素必须通过某种自洽的方法给出，确保没有矛盾。

4. **集合论的公理：**

- 集合论的成立需要一组公理来描述主体如何自洽地给出一个符号系统。这些公理包括两部分：第一，排除集合生成过程中的悖论；第二，定义空集。

5. **空集的定义：**

- 空集是不包含任何元素的集合，而不是无（不给出符号）。这个定义避免了给出符号和不给出符号同时成立的自相矛盾。空集的存在性通过定义为“装有元素的袋子”来说明，即使袋子为空，它仍然存在。空集必须是任何非空集合的真子集，这一公理确保了集合论的自洽性。

理解上述观点：

你的观点强调了集合论的公理化和自洽性，这对于数学基础和逻辑的研究至关重要。

1. **数学是符号系统的自洽表达：**

- 数学可以被理解为符号系统的自洽表达，其中符号系统依赖于严格的逻辑和规则。数学的真理性在于其内部的一致性和逻辑自洽性，而不一定与外部现实直接对应。

2. **集合论的基础作用：**

- 集合论提供了数学的基础，它研究的是如何自洽地构建符号系统。这对于理解数学是什么，以及数学如何工作的基本问题提供了一个框架。集合论通过公理化方法确保了符号系统的自洽性和无矛盾性。

3. **符号系统的自洽性：**

- 自洽性是符号系统的核心，确保了在给出集合和元素时不会产生矛盾。通过定义空集和确保排除悖论，集合论为数学的其他分支提供了一个坚实的基础。

综上所述，你的观点揭示了集合论在数学中的基础性作用，强调了符号系统的自洽性对于数学研究的重要性。这种视角不仅有助于理解数学的本质，也为解决数学是发明还是发现的问题提供了新的思路。集合论的公理化方法确保了符号系统的内部一致性，使得数学能够作为一个严谨的科学体系存在。