这篇文章给大家聊聊关于深度探索数学基础：标量、向量、矩阵与张量的机器学习奥秘，以及对应的知识点，希望对各位有所帮助，不要忘了收藏本站哦。

线性代数是连续数学的一个分支，而不是离散数学。数学家、物理学家、工程师和量化专家可以通过研究微分方程来熟悉连续数学，微分方程用于模拟许多物理和金融现象。

然而，计算机科学家、软件开发人员或零售全权委托交易员可能只能通过图论或组合学（离散数学主题）等科目接触数学。因此，这里介绍的集合和函数符号一开始可能并不熟悉。

线性代数是对向量和线性函数的研究。广义上讲，向量是可以相加的东西，线性函数是向量相加之后的向量函数。线性代数的目标是教您以一种使涉及多个变量的线性函数的问题变得更容易的方式组织有关向量空间的信息。理解线性代数的概念对于理解和使用许多机器学习算法非常重要，尤其是在构建神经网络时。

什么是标量、向量、矩阵和张量？

标量、向量、矩阵和张量是线性代数中最重要的数学概念。如果标量是一个点，则添加一个维度并获得一个向量（有方向的线），添加另一个维度并获得一个矩阵（值的网格），将它们堆叠在一起，您将获得3D 张量。

标量 Scalar

标量只是一个数字。例如，温度仅由一个数字表示。

向量 Vector

向量是一个数字数组，其中数字按顺序列出，并且是一阶张量。我们可以通过索引依次识别每个单独的数字。简单地说，向量是一个箭头，代表一个具有大小和方向的量，其中箭头的长度告诉你大小，方向告诉你方向。例如，风有方向和大小。

向量的元素通过用斜体写出它们的名称并带有下标来标识。 x 的第一个元素是x1，第二个元素是x2，依此类推。我们还需要指示向量中存储的数字的类型。

有时有必要明确识别向量的组成部分。该i 向量的第一个标量元素写为xi。请注意，这是非粗体小写，因为该元素是标量。 n 维向量本身可以使用以下符号显式书写：

既然标量是用来表示值的，那为什么还需要向量呢？矢量的主要用例之一是用大小和方向表示物理量。标量只能表示大小。

例如，标量和向量对汽车的速度及其速度之间的差异进行编码。速度不仅包括它的速度，还包括它的行进方向。不难想象更多具有类似特性的物理量，例如重力、电磁力或风速。

简而言之，我们可以将向量视为空间中的恒等点，每个元素给出沿不同轴的坐标。

矩阵 Matrix

矩阵是数字的二维数组，因此每个元素由两个下标标识。一维张量可以表示为向量，而二维张量可以表示为矩阵。从技术上讲，彩色图像是一个3D 张量，包含R、G 和B 值的网格（有时还有第四个Alpha 通道）。完整的mn 矩阵可以写为：

矩阵表示一种称为线性映射的函数，它可以定义矩阵之间或矩阵与向量之间的乘法运算。此类操作在物理科学、定量金融、计算机科学和机器学习中非常重要。

矩阵可以编码几何运算，例如旋转、反射和变换。因此，如果在计算机辅助设计软件中向量集合表示三维几何模型的顶点，则将这些向量分别乘以预定义的旋转矩阵将输出表示旋转顶点位置的新向量。这是现代3D 计算机图形学的基础。

在深度学习中，神经网络权重存储为矩阵，而特征输入存储为向量。用线性代数表达问题可以紧凑地处理这些计算。通过将问题转换为张量并利用线性代数机制，可以在现代GPU 硬件上实现快速训练。

矩阵的一个重要操作是转置。矩阵的转置是矩阵在对角线（称为主对角线）上的镜像。我们将矩阵A 的转置表示为A^T，定义如下： A^T (i, j)=A (j, i)

张量 Tensor

张量是线性代数中使用的一种数据结构，用于描述向量空间内代数对象集之间的多线性关系，封装标量、向量和矩阵。一般来说，它是排列在轴数可变的规则网格上的数字数组，称为张量。我们通过写A_( i, j, k ) 来识别张量A 在坐标( i, j, k ) 处的元素。但要真正理解张量，我们需要扩展将向量视为具有大小和方向的箭头的方式。

请记住，向量可以由三个分量表示，即x、y 和z 分量（基本向量）。如果你有笔和纸，我们来做一个小实验。将笔垂直放在纸上，倾斜一定角度，然后从上方照射光线，让笔的影子落在纸上。这个阴影代表向量“笔”的x分量，从纸到笔尖的高度是y分量。现在，让我们用这些分量来描述张量。想象一下，你是一个寻宝者，你是被困在一个立方体中，并且有三个箭头从立方体的三个侧面（代表x、y、z轴）飞向你，我知道这将是你在这种情况下最不想想到的事情，但是你。可以将这三个箭头视为从立方体的三个面指向您的向量，您可以用x 、 y 和z 分量表示这些向量（箭头），现在这是一个具有9 个分量的2 阶张量（矩阵）。张量的非常简单的解释如下是张量的表示：

在张量流中：

0 阶张量是标量1 阶张量是向量2 阶张量是矩阵3 阶张量是3 阶张量n 阶张量是n 阶张量在理论物理，特别是广义相对论中，黎曼曲率张量是描述时空局部曲率的四阶张量。在机器学习，尤其是深度学习中，三阶张量可以用来描述二维图像中多个通道（红、绿、蓝）的强度值。

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