基于集体智慧的全国高中数学现场示范课的设计与思考
各位老铁们，大家好，今天由我来为大家分享基于集体智慧的全国高中数学现场示范课的设计与思考，以及的相关问题知识，希望对大家有所帮助。如果可以帮助到大家，还望关注收藏下本站，您的支持是我们最大的动力，谢谢大家了哈，下面我们开始吧！
中国教育学会中学数学教学专业委员会主任委员、本次活动学术委员会主席张建岳博士进行了现场点评，对本次课程的设计和教学过程给予了高度评价，指出：这堂课的教学设计非常精彩。
精彩一：问题引入自然流畅，充满数学味道：通过引入问题公式的结构特征的形式化表达，直接触及问题的本质和核心，开门见山，强烈的数学味道，然后围绕这个问题展开，自然会导致你在本课中学到什么。
精彩二：数学归纳法原理类比得恰到好处，让学生感受到数学来源于生活：利用“多米诺骨牌全部倒下”效应进行详细探究，以及两步的本质和辩证关系对数学归纳法的问题进行类比求解，使学生了解数学归纳法。原理理解自然就清晰了，水到渠成。
精彩三：为了解释“两步一论”和数学归纳法原理的本质，背诵一首诗：“提出并解决整数命题，为递归归纳奠定了基础。两步一论可以通向无穷大，并且方法思想在全世界都很流行。”简明扼要。结合具体问题谈收获和经验，让学生有针对性地复习本课的知识和方法。最后，点睛之笔就是以悠扬的诗声结束这堂课，留下无尽的回味。张建岳博士的精彩点评令人着迷、难忘！但从设计参与者的角度来看，整个设计、试教、修改的过程充满了曲折，充满了困难和疑惑！我在这里分享给大家，以促进我们教学科研能力的提升。
1.再现过程精彩
1. 开幕致辞
前世五百次的回眸，才能换来今生的一次擦肩而过。今天我们有缘相聚在这里，老师感到非常荣幸！首先请大家以热烈的掌声向各位评委和嘉宾的到来表示热烈的欢迎，也对同学们的积极参与和配合表示衷心的感谢！
2.问题介绍
师：请看大屏幕，计算a2、a3、a4，并猜出它们的通式。
请回答，a2、a3、a4 等于什么？并让学生猜测an的通式，an=1/n。
师：你认为这个结论正确吗？
学生：不一定（有人说是对的）。
师：“不一定”？为什么？ （如果你说“正确”，如何证明呢？）
学生：有限项得出的结论是不完全归纳法，所以结论可能不正确。
师：完全归纳法可以解决吗？
学生：不！
师：显然不是。由于正整数有无穷多个，相应地，an 中的项也有无穷多个。如果一一验证，永远无法完成，生命也是有限的。
师：回忆一下我们之前学过的分析、综合、反证法，我们能不能解决这个问题？
学生：（沉默）还是不行！
3.多米诺骨牌视频
师：其实我们在生活中也有类似的经历，所以让我们从生活中汲取灵感吧。
师：请看视频。
师：（问）我刚才听到学生一共说了三声“啊”。为什么你会有这么多的情绪？
视频播放时，老师发现有的学生睁大了眼睛，张大了嘴巴，露出惊讶的表情。
师：你对什么感到惊讶？
老师聆听学生的回答。
师：这个视频给我们展示了“多米诺骨牌效应”。我们似乎感觉多米诺骨牌都可以无限倒下。
4. 多米诺骨牌碎片分析
师：我们截取其中一个片段进行分析，请学生仔细观察并思考：需要什么条件才能保证多米诺骨牌全部倒下？请同学们自由讨论！
学生活动时，老师下楼检查，与学生沟通，确定回答问题的目标群体。
让学生自由回答，并请周围的学生补充；如果学生答不上重点，老师会给予适当的启发。总之，引导学生“两步走”。
老师：（根据图片结合两个条件）如果第一块多米诺骨牌不动，多米诺骨牌会倒下来吗？
学生：没有。
师：为了保证多米诺骨牌全部倒下，首先要保证：（让学生接住）。
学生：第一块多米诺骨牌即将倒下！
师：如果我们只满足第一张多米诺骨牌倒下，能保证所有的多米诺骨牌都会倒下吗？
学生：没有。
师：那么要满足什么条件才能保证多米诺骨牌全部倒下呢？
换句话说，如果其中一张多米诺骨牌倒下，并不能保证下一张也会倒下。多米诺骨牌能全部倒下吗？
学生：没有。
师：那么要保证多米诺骨牌全部倒下，我们还必须保证：（让学生抓住它们）。
学生：如果一张卡片掉下来，确保下一张卡片也掉落下来！
师：这幅作品是哪一幅？
学生：第二个。
师：可以是第三个吗？
学生：好的。
师：那么，一般来说，“某张牌”可以用字母来表示吗？
学生：好的。
师：好的，如果我们这里用字母k来表示“某张牌”，那么条件2如何用数学语言来描述呢？
生命值：如果第k张牌掉落，则必须能够使第k+1张牌也掉落。
师：很好。通过学生的自主探索和积极参与，我们发现了所有多米诺骨牌倒下的两个重要条件。
“多米诺骨牌全部倒下”要在大银幕上呈现，有两个重要条件。
师：这两个条件可以省略一个吗？
健康：第一个条件保证了跌倒的可能性（跌倒必须有一个初始动机），第二个条件保证了跌倒的传递性（跌倒可以继续）。所以这两个条件缺一不可！
师：因此，我们得出结论：只要满足以下两个条件，“所有的多米诺骨牌都会倒下”。
（1）第一块多米诺骨牌即将倒下；
（2）如果第k块掉落，那么第k+1块也必须掉落。
这就是“多米诺骨牌全部倒下”的原理。
5、以此类推解决an=1/n的猜想
师：我们能不能从中得到启发，用“多米诺骨牌全部倒下”的原理来证明an=1/n的猜想？请学生互相讨论。
学生口头发言，将猜想的证明过程与“多米诺原理”进行类比，一步步进行比较和挖掘。
师：（让学生总结）同学们，现在我们来总结一下什么是数学归纳法。
（1）启发学生这是“所有正整数n”的证明，并引导学生回答“与正整数n有关的某些命题”的证明。
（2）一共有多少步？
两步。
第一步要证明什么？ (1) 证明：当n=1时命题为真；
那么第二步呢？ （2）证明：假设当n=k时该命题为真，则当n=k+1时该命题也为真。
得出结论：从（1）和（2）我们可以得出结论，该命题对于任何正整数n都成立。
这种证明方法称为数学归纳法。
师：现在我们对这种全新的数学归纳法进行简单的分析。
(1)第一句将数学归纳法的应用范围定义为“与正整数n有关的某些命题的证明”。
(2)第一步的作用是什么？
类比多米诺骨牌原理来理解，“第一张多米诺骨牌会倒下”，这为所有多米诺骨牌倒下提供了基础。同样，第一步为命题的成立提供了基础，故称为“归纳基础”。
(3)第二步的作用是什么？
类比多米诺骨牌原理更好理解，“如果第k块倒下，那么一定能保证第k+1块也倒下”。另外，k的任意性保证了多米诺骨牌倒下的传递性。同样，第二步保证了命题的递归性，故称为“归纳递归”。
（4）第二步的本质是证明一个命题：条件是“当n=k时命题为真”，结论为“当n=k+1时命题也为真”，并且k保证了命题成立的递归性。
7. 例1的证明
学生动手演示，然后请学生解释，最后老师点评。
师：学习的目的是为了应用。现在我们来尝试一下。
示例1显示在大屏幕上。利用数学归纳法证明：等差数列的通式an=a1+(n-1)d。
我们回顾一下发现an=a1+(n-1)d的过程。
学生评语。
显然，以前用过不完全归纳法，结论可能不正确，但我们以前一直在用，所以必须进行“拯救”证明。
我们一起来分析一下这个问题的意思。
问题中给出的已知条件是“{an}是一个算术数列”，要证明的结论是“an=a1+(n-1)d对于所有正整数n都成立”。
为了使用数学归纳法进行证明，我们需要执行以下操作。
第一步验证“当n=1时，方程成立”；
第二步，证明：如果当n=k时方程成立，即ak=a1+(k-1)d，那么当n=k+1时命题也成立，即ak+1=a1+[ (k+1)-1]d。
老师：（待大部分同学完成后）请大家仔细体验一下标准化解题流程（老师展示标准化解题流程）。要善于从解决问题的过程中总结和提炼解决问题的方法和步骤。
用数学归纳法证明一个问题需要完成两个步骤和一个结论。
（1）证明：当n=1时命题为真（简而言之：找到正确的起点且基础必须稳固）；
（2）证明：假设当n=k时该命题为真，那么当n=k+1时该命题也为真（可以用八个字来概括：只有使用假设，递归才能为真）；
(3) 根据(1)和(2)可知，该命题对于任意正整数n都成立（只有写下结论才是完整的）。
同学们，只要你们能深刻理解这二十四个字，以后数学归纳法就会游刃有余。
八、反例分析与总结
师：我们用两个分析问题来加深对这两个步骤的作用的理解。
通过本课的学习，我们发现、总结并应用了一个新方法——数学归纳法。
（1）数学归纳法的内容是什么？你怎么理解呢？
（2）我们是如何发现并总结这个方法的？
（3）你认为哪些问题需要与同学或老师讨论……
最后老师给大家一首小诗来总结本节课的要点。
学生齐声朗读：整数命题题及解法，为递归、归纳奠定基础。两步一理论可以通向无穷，方法和思想可以传遍天下。掌声响起。高潮即结束，给人留下无尽的回味。
2. 回顾设计，还有很多东西需要学习
当接到重庆教育科学研究院张晓斌老师的“将我校定位为全国唯一的现场示范班”的任务后，我们整个教研组心情激动，倍感责任重大。我们专门开展了一次教研活动，动员全体组员查阅资料、提出建议、讨论落实，最终落实了《数学归纳法》教学课题，精心组织研究《全国中学青年数学教师优秀课评价标准》。
第一次教学设计和试讲由张志华老师实施。他注重数学归纳法的应用，提炼了应用时的“三注”，但未能反映知识的产生和发展过程，没有明确数学归纳法的重点和难点（第一课）。正当教研组讨论修改初步设计时，张建岳博士来访我校。听完课后，结合教研组的意见，他提出以下意见。
（1）首先，这是一堂数学思维方法课。对知识内容的理解和定位要基于思维方法的来龙去脉。
（2）为什么要引入数学归纳法？为了产生认知冲突，我们可以从数学例子开始。数学味道更浓，无法一一列举怎么办？
（3）本质：用有限的方法解决无限的问题。推荐参考华罗庚著作《数学归纳法》。
（4）数学归纳法可以借助多米诺骨牌直观地理解，经典的例子最为生动。
（5）难点是第二步：本质是证明我们构造的命题：条件是什么？结论是什么？结合第一步，无限问题就解决了。这就明确了本课的重点和难点。 “三注意”不是重点。数学归纳法的经验是重点，核心是第二步。我们需要通过实例来实现这些步骤，并让学生通过实例来体验。第二步其实就是证明一个“递归命题”，让学生讨论如果不使用归纳假设为什么不行。
(5)例子要简单一些，最好不要选择不等式。做到“高意图、低起点”，还要注意设置探究点，让学生跳起来、摸着，通过反复试讲来找到。
综上所述，整体结构应该是：我们学到了哪些证明方法？当面对一个与所有自然数相关的命题时，是否可以使用现有的方法？我们如何将涉及无穷大的问题转化为有限步骤的证明？要在课堂上带出数学的味道，我们需要思考如何自然地引入它？如何体现方法的构建过程，特别是如何从多米诺骨牌的例子中挖掘出数学归纳法的思想？如何将生活例子与数学意义联系起来？
经过这次讨论，教研组基本达成共识，将教学设计思路集中在三大环节：引论环节（通过数学实例引入）；多米诺骨牌分析和数学归纳法的呈现；以及数学归纳法的简单应用。从多米诺骨牌中获得灵感并结合数学实例来完善数学归纳法是很困难的。在简单的应用过程中，学生主要利用算术数列的一般公式，使学生明确数学归纳法每一步的含义，规范书写过程。
确定了大思路后，经过重庆教育科学研究院张晓斌老师和我校教研团队的多次设计和打磨，明确了很多细节，课堂教学语言也经过精心细化。但大家总觉得一堂优秀的全国展示课什么都没有缺少。
3.专家指导，精彩课堂
2014年12月6日上午，张建岳博士亲自来到我校，聆听张志华老师宣讲前的最后一次试讲。在听取了我校教研组的意见后，他充分肯定了我们的前期准备，并重点阐述了课题。引入问题建议：将一个例子加三个数学问题的引入简化为一个数学问题直接引入（这是现在的引入流程）。通过引入问题的公式结构特征的形式化表达，直接触及问题的本质和核心，开门见山，具有浓郁的数学气息。剩下的讨论都会围绕这个问题展开，自然就引出了本课的内容，也为后续的互动环节留下了更多的时间。这让全班老师恍然大悟，充分感受到了大家的气魄！第二天，张志华老师对教学设计进行了最后的修改，对师生互动、语言的组织和衔接也进行了再次调整和设计。
本次示范课的设计和课堂教学实践，让我们充分认识到一堂好课来之不易，课堂教学的研究永无止境。这场演讲已经消失，但我们的思念仍在继续。本课程的设计仍需改进。比如，师生互动环节，师生互动的精彩瞬间并不多；教师对学生答案的精准点评有待探索；教师语言的幽默性和课堂的流畅性也需要不断加强；等等。我们真诚地希望得到各位同仁的帮助和建议。
参考：
[1] 华罗庚.数学归纳法[M]上海，上海教育出版社，1965。
[2] 张建岳.追求数学课堂的本色。第七次项目会议结果摘要。 2008.10.17-19
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用户评论
这篇文章真让我受益匪浅！群策群力的设计理念很值得借鉴，把师生互动融入课堂，课堂活跃起来，学生也更愿意学习了。希望学校能够鼓励更多老师尝试这种方式!
有10位网友表示赞同！
全国高中数学现场展示课的设计很有新意，让传统的教学方法更具活力。我觉得“智慧结晶一堂”展现出的师生共创氛围让人感觉温暖而积极，但能否真正有效推广到日常课堂还需要进一步观察和实践。
有12位网友表示赞同！
作为一名高中数学老师，我对这篇文章非常感兴趣！现场展示课这种形式的确能更好地激发学生的学习热情，更重要的是能够促进教师之间的互相学习和交流。希望能看到更多这样的优秀案例分享!
有10位网友表示赞同！
"智慧结晶一堂"的理念很棒，让学生在课堂上更积极参与、思考问题。但这需要老师们充分预备课程内容，并掌握有效的教学方法来引导学生思考。如果单纯依靠这种形式，可能效果不理想。
有18位网友表示赞同！
我觉得高中数学现场展示课的设计思路挺好的，能有效激发学生的学习兴趣，还能增强师生之间的互动。但现实中可能面临一些挑战，比如课堂控制和时间安排等。作者的反思也很客观，能够让人更深入地思考如何改进教学方法。
有6位网友表示赞同！
这次全国高中数学现场展示课的设计亮点在于突出“群策群力”，真正把学生作为课堂的主体参与进来。这种积极向上的教学理念值得大力推广！
有9位网友表示赞同！
虽然文章提到了一些问题，比如老师的备课压力和学生的学习负担，但我还是觉得"智慧结晶一堂"的设计充满希望！只要我们不断努力创新，就能打造更加生动的数学课堂。
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我想问一下，在实践中“群策群力”是如何具体落实的？学生们是如何参与到课程设计中的？希望能看到更多具体的案例和经验分享。
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文章提到现场展示课的目的是让学生"体验学习的乐趣"，我觉得这很重要！数学课堂不应该只是简单的灌输知识，而是要激发学生的思维能力和创造力。
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我个人觉得“群策群力” 的设计理念很好，但如何才能真正保证每个学生的参与度呢？一些学生可能性格内向或者缺乏表达能力，在集体讨论中可能会感到压力或焦虑。希望以后能关注到这一点并给出更多具体的解决方案。
有5位网友表示赞同！
从文章的描述来看，这堂"智慧结晶一堂" 的课堂氛围看起来非常活跃！让学生们在轻松愉快的环境中学习数学知识，效果可能确实会更好。
有16位网友表示赞同！
我觉得这种全国高中数学现场展示课的设计方向很有潜力，但实际操作起来可能会遇到很多困难，比如教师培训、学校资源的配置等等。
有11位网友表示赞同！
作为一名对教育改革一直关注的家长，我很期待看到更多像这样创新教学理念的实践成果！希望能够在推广过程中更加注重学生的个体差异和心理调节，才能真正实现"群策群力" 的理想目标。
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我对这种"智慧结晶一堂" 教学模式有一定的兴趣，但希望能了解到作者对不同类型学生学习能力的考量？比如那些数学基础相对薄弱的学生，能否在这样的课堂氛围中也能获得提升呢？
有7位网友表示赞同！
文章提到的"群策群力 " 的设计理念很有远见，但我觉得要想真正做到每个人都能参与进来，还需要考虑学生的年龄特点和学习水平差异。 教师应该根据学生的实际情况，采取不同的教学策略，才能让每个学生都能受益。
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虽然全国高中数学现场展示课的设计非常新颖，但我担心这种模式可能会过于注重课堂形式的创新，而忽略了数学知识的内涵和逻辑思维的培养。 关键还是在保证教学质量的前提下创新教学方法。
有20位网友表示赞同！
我觉得“智慧结晶一堂” 的教学理念值得我们深思！不仅可以激发学生的学习兴趣，还能有效培养他们的团队合作精神和沟通能力。
有10位网友表示赞同！
这篇文章给我带来了很多新的思考，让我认识到传统的教学方式已经无法满足时代发展的需求。"群策群力 "的设计模式或许能够帮助我们构建更加智慧、高效的教育体系。
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