2020年安徽省芜湖市无为中学自主招生数学试卷

一、选择题，每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。

1．（4分）在2^﹣3，，（﹣2）^﹣3，这四个数中，最小的是（ ）

A．2^﹣3B．C．（﹣2）^﹣3D．

2．（4分）在新冠疫情阻击战中，我国有400万名社区工作者默默无闻地奋战在几十万个社区．将400万用科学记数法表示为（ ）

A．4×10⁵B．4×10⁶C．4×10⁷D．4×10⁸

3．（4分）下列几何体的左视图是矩形的是（ ）

A．B．C．D．

4．（4分）某校对180名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布直方图（不完整）如图所示，设这次抽样调查所得数据的中位数为x，根据图中的信息判断x的取值范围是（ ）

A．0≤x＜4.3B．4.3≤x＜4.6C．4.6≤x＜4.9D．4.9≤x＜5.2

5．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和（a+b）ⁿ的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第n行的各数之和比上一行各数之和大64，则n的值为（ ）

A．7B．8C．9D．10

6．（4分）新定义一种运算“⊗”，其运算法则为：a⊗b；例如：1⊗2＝﹣1，2⊗1＝3．已知a⊗（﹣5）＝2，则a的值为（ ）

A．3B．﹣3C．7D．﹣7

7．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣b）x²+（c﹣a）x+（b﹣c）＝0有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（ ）

A．2a＝b+cB．2b＝a+cC．2c＝a+bD．b²﹣4ac＝0

8．（4分）已知x＞0，且，则与x最接近的整数是（ ）

A．4B．3C．2D．1

9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，P为△ABC内一点，分别连接PA、PB、PC．当∠APB＝∠BPC＝∠APC时，PA+PB+PC的值为（ ）

A．2B．C．D．

10．（4分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝9，DB＝3，CD＝6，矩形的顶点E与A点重合，EF＝8，EH＝4，将矩形EFGH沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形EFGH与△ABC重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A．B．

C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）因式分解a²﹣b²﹣c²﹣2bc＝．

12．（5分）去年年末，小王按照分期付款的方式购买一辆小轿车，总价为67.5万元，小王先首付26.5万元，以后每年还汽车销售商2万元和余款的利息，同时约定每年的年利率为6%．例如第1年年末他应付金额2+40×6%＝4.4万元，第2年年末他应付金额2+38×6%＝4.28万元，…，依次类推，直到还清余款为止．写出第n年年末（n为整数）应付金额y（万元）与n的函数关系式为．（不要求写n的取值范围）

13．（5分）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB⊥CD于E，OH⊥BC于H，已知AD＝4，BC＝6，则⊙O的半径为．

14．（5分）如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝5，AE＝4，将正方形AEFG绕点A旋转，连接CG，当∠ABG最大时，则CG的长为．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞﹣5，求m的取值范围．

16．（8分）某专卖店销售一种工业设备，3月份的售价2万元/台，共销售60台．根据市场销售经验知：当这种设备售价每增加0.1万元/台时，每月就会少售出1台．4月份该专卖店想将销售额提高25%，这种设备售价应定价为多少万元/台？

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了两个格点△ABC和△DEF（顶点是网格线的交点），已知△ABC和△DEF成中心对称．

（1）在图中找出对称中心O，并示意过程；

（2）将△DEF经过怎样平移，可与△ABC组成平行四边形？在正方形网格中画出能组成的平行四边形．

18．（8分）在“书香社区”全民阅读活动中，某社区读书联盟计划举行一次参加活动有奖送书活动，活动规则是：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外，其它都相同） 的不透明盒中，请每位参加活动的社区居民随机摸球一次，然后送书．联盟做了三种活动计划．计划1：随机摸一个球，摸到红球送一本精美图书；计划2：随机同时摸两个球，同时摸到2个都是红球送一本精美图书；计划3：随机同时摸两个球，摸到的两个球中，其中只要有一个是红球送一本精美图书．

（1）分别求活动计划1和活动计划2中，居民获得精美图书的概率；

（2）三种活动计划中，哪种计划送出的精美图书最多？为什么？

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）已知一次函数y₁＝ax+b与反比例函数的图象相交于A（﹣1，6）、B（﹣3，2）两点．

（1）当x＜0时，比较y₁与y₂的大小；

（2）在y轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，求点P的坐标．

20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F两点分别在BC、CD边上，EF∥BD，连接AFAE，分别交BD于P，Q两点．

（1）求证：S_△ABE＝S_△ADF；

（2）求证：BQ＝DP．

六、（本题满分12分）

21．（12分）关于x的一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．

（1）若其图象经过（﹣1，m），（m，1）两点，且m＞1，试判断该函数图象所经过的象限；

（2）若b＝2k+3，对于任意实数k，其图象都经过定点P，求点P的坐标．

七、（本题满分12分）

22．（12分）已知关于x的二次函数y＝a（x﹣m）²﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．

（1）若该二次函数图象的顶点M（2，3），求a，m的值；

（2）设该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．当△ABQ的面积与△ABN的面积相等时，求m的值．

八、（本题满分14分）

23．（14分）四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线AC、BD相交于E点．

（1）如图1，点F为AC上一点，∠BFC＝2∠CFD＝∠BAD．

①求证：△ABF∽△DBC；

②求的值．

（2）如图2，求证：．

2020年安徽省芜湖市无为中学自主招生数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题，每小题都给出代号为A、B、C、D的四个选项，其中只有一个是正确的，请把正确选项的代号写在题后的括号内，每一小题，选对得4分，不选、选错或选出的代号超过一个的（不论是否写在括号内）一律得0分。

1．（4分）在2^﹣3，，（﹣2）^﹣3，这四个数中，最小的是（ ）

A．2^﹣3B．C．（﹣2）^﹣3D．

【解答】解：2^﹣3＝＝8，（﹣2）^﹣3＝﹣＝﹣8，

∵﹣8＜﹣＜＜8，

∴在2^﹣3，，（﹣2）^﹣3，这四个数中，最小的是

故选：D．

2．（4分）在新冠疫情阻击战中，我国有400万名社区工作者默默无闻地奋战在几十万个社区．将400万用科学记数法表示为（ ）

A．4×10⁵B．4×10⁶C．4×10⁷D．4×10⁸

【解答】解：400万可表示为400×10000＝4×10⁶．

故选：B．

3．（4分）下列几何体的左视图是矩形的是（ ）

A．B．C．D．

【解答】解：A选项中的几何体的左视图是长方形，

B选项中的几何体的左视图是三角形，

C选项中的几何体的左视图是圆，

D选项中的几何体的左视图是梯形，

故选：A．

4．（4分）某校对180名初中毕业生进行了一次视力抽样调查，绘制出频数分布直方图（不完整）如图所示，设这次抽样调查所得数据的中位数为x，根据图中的信息判断x的取值范围是（ ）

A．0≤x＜4.3B．4.3≤x＜4.6C．4.6≤x＜4.9D．4.9≤x＜5.2

【解答】解：由图可知，第一组有50人，第二组有50人，

∵被调查的学生总人数是180，

∴将这180名初中毕业生进行抽样调查所得数据按从小到大的顺序排列，第90和91个数据的平均数为这组数据的中位数，

∵第90和91个数据均落在第二组，

∴这次抽样调查所得数据的中位数4.3≤x＜4.6．

故选：B．

5．（4分）我国古代数学的许多创新和发展都位居世界前列，如南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式和（a+b）ⁿ的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”，若“杨辉三角”中第n行的各数之和比上一行各数之和大64，则n的值为（ ）

A．7B．8C．9D．10

【解答】解：第1行的各数之和为2^0，

第2行的各数之和为2^1，

第3行的各数之和为2^2，

第4行的各数之和为2^3，

••••••，

第n行的各数之和为2^n﹣1，

∵第n行的各数之和比上一行各数之和大64，

∴2^n﹣1﹣2^n﹣2＝64，

解得：n＝8．

故选：B．

6．（4分）新定义一种运算“⊗”，其运算法则为：a⊗b；例如：1⊗2＝﹣1，2⊗1＝3．已知a⊗（﹣5）＝2，则a的值为（ ）

A．3B．﹣3C．7D．﹣7

【解答】解：当a≤﹣5时，a﹣（﹣5）＝2，

解得a＝﹣3（不符合题意，舍去）；

当a＞﹣5时，a+（﹣5）＝2，

解得a＝7；

故选：C．

7．（4分）已知关于x的一元二次方程（a﹣b）x²+（c﹣a）x+（b﹣c）＝0有两个相等的实数根且实数a，b，c互不相等，则下列结论一定成立的是（ ）

A．2a＝b+cB．2b＝a+cC．2c＝a+bD．b²﹣4ac＝0

【解答】解：∵关于x的一元二次方程（a﹣b）x²+（c﹣a）x+（b﹣c）＝0有两个相等的实数根，

∴Δ＝（c﹣a）²﹣4（b﹣c）（a﹣b）＝0，

∴c²﹣2ac+a²﹣4（ab﹣b²﹣ac+bc）＝0，

∴a²+4b²+c²﹣4ab+2ac﹣4bc＝0，

∴（a﹣2b+c）²＝0，

∴a﹣2b+c＝0，

∴2b＝a+c（a≠b）．

故选：B．

8．（4分）已知x＞0，且，则与x最接近的整数是（ ）

A．4B．3C．2D．1

【解答】解：将方程两边同乘得，

25﹣x2﹣（15﹣x2）＝2（），

得＝5，

∵

∴2＝7，

∴x＝（负值已舍），

∵7＜＜7.5，

∴3.5＜＜3.75，

∴与x最接近的整数是4，

故选：A．

9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，P为△ABC内一点，分别连接PA、PB、PC．当∠APB＝∠BPC＝∠APC时，PA+PB+PC的值为（ ）

A．2B．C．D．

【解答】解：将△APB绕点B顺时针旋转60°到△NMB，

得△PMB，△BAN都是等边三角形，

由∠APB＝∠BPC＝∠APC，

得∠APB＝∠BPC＝∠APC＝360÷3＝120°，

得C，P，M，N在一直线上，

由∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，BC＝1，

得∠CAN＝30+60＝90°，AN＝AB＝2，AC＝＝

得PA+PB+PC＝CN＝＝．

故选：D．

10．（4分）如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，AD＝9，DB＝3，CD＝6，矩形的顶点E与A点重合，EF＝8，EH＝4，将矩形EFGH沿AB平移，当点E与点B重合时，停止平移，设点E平移的距离为x，矩形EFGH与△ABC重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）

A．B．

C．D．

【解答】解：当0＜x≤4时，设AC，EF交于点I，如图，

∵IE∥CD，

∴△AIE∽△ACD，

∴IE：CD＝AE：AD，即IE：6＝x：9，

∴IE＝

∴y＝x•＝

当4＜x≤9时，设GH交AC于点J，如图，

∵△AJH∽△ACD，

∴AH：AD＝JH：CD，

∵HE＝4，∴AH＝x﹣4，

∴（x﹣4）：9＝JH：6，

∴JH＝（x﹣4），

∴y＝﹣（x﹣4）•（x﹣4）＝（x﹣4）²＝x﹣

当9＜x≤12时，设BC，EF交于点I，如图，

∵IE∥CD，

∴△BIE∽△BCD，

∴IE：CD＝BE：BD，

∵AB＝12，

∴BE＝12﹣x，IE＝24﹣2x，

∵AH＝x﹣4，

∴HD＝9﹣（x﹣4）＝13﹣x，DE＝x﹣9，

∴y＝[（x﹣4）+6]（13﹣x）+（24﹣2x+6）（x﹣9）＝﹣x²+30x﹣；

由这三段函数可以判断C符合题意，

故选：C．

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）

11．（5分）因式分解a²﹣b²﹣c²﹣2bc＝（a+b+c）（a﹣b﹣c）．

【解答】解：a²﹣b²﹣c²﹣2bc＝a²﹣（b²+2bc+c²）＝a²﹣（b+c）²＝（a+b+c）（a﹣b﹣c），

故答案为：（a+b+c）（a﹣b﹣c）．

12．（5分）去年年末，小王按照分期付款的方式购买一辆小轿车，总价为67.5万元，小王先首付26.5万元，以后每年还汽车销售商2万元和余款的利息，同时约定每年的年利率为6%．例如第1年年末他应付金额2+40×6%＝4.4万元，第2年年末他应付金额2+38×6%＝4.28万元，…，依次类推，直到还清余款为止．写出第n年年末（n为整数）应付金额y（万元）与n的函数关系式为y＝﹣0.12n+4.52．（不要求写n的取值范围）

【解答】解：设第n年年末（n为整数）应付金额y（万元）与n的函数关系式为y＝kn+b（k≠0），

将（1，4.4），（2，4.28）代入y＝kn+b得：

解得：

∴第n年年末（n为整数）应付金额y（万元）与n的函数关系式为y＝﹣0.12n+4.52．

故答案为：y＝﹣0.12n+4.52．

13．（5分）如图，AB、CD为⊙O的两条弦，AB⊥CD于E，OH⊥BC于H，已知AD＝4，BC＝6，则⊙O的半径为．

【解答】解：作直径CM，连接MB，BD，

∴∠CBM＝90°，

∴∠BCM+∠M＝90°，

∵AB⊥CD⊥，

∴∠BED＝90°，

∴∠ABD+∠BDE＝90°，

∵∠M＝∠BDE，

∴∠BCM＝∠ABD，

∴＝

∴MB＝AD＝4，

∵BC＝6，

∴CM＝＝2

∴⊙O的半径为．

故答案为：．

14．（5分）如图，在正方形ABCD和正方形AEFG中，AB＝5，AE＝4，将正方形AEFG绕点A旋转，连接CG，当∠ABG最大时，则CG的长为或．

【解答】解：由题意可知，点G的运动轨迹是以A为圆心，AG为半径的圆，当BG与⊙A相切时，∠ABG的值最大；

当点G在AB右侧时，如图，过点G作GM⊥CB交CB的延长线于点M，过点G作GN⊥AB于点N，

易证四边形BNGM为矩形，

在正方形ABCD中，AB＝BC．

∵BG是⊙A的切线，

∴AG⊥BG，

∵AB＝5，AG＝4，

∴BG＝3，

∵∠GAN＝∠BAG，∠AGB＝∠ANG，

∴△ABG∽△AGN，

∴

∴NG＝＝

∴MG＝BN＝AB﹣AN＝＝CB+BM＝AB+NG＝5+＝

∴CG＝＝；

当点G在AB左侧时，如图，过点G作GM⊥CD于点M，过点G作GN⊥AB于点N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴四边形BNMC为矩形，

∵BG是⊙A的切线，

∴AG⊥BG，

∵AB＝5，AG＝4，

∴BG＝3，

∵∠GAN＝∠BAG，∠AGB＝∠ANG，

∴△ABG∽△AGN，

∴

∴NG＝＝

∴MG＝MN﹣NG＝BC﹣NG＝＝CD﹣DM＝AB﹣AN＝5﹣＝

∴CG＝＝；

则答案为：或．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞﹣5，求m的取值范围．

【解答】解：由题意，∵﹣＜1，

∴3（x﹣1）﹣（5x+1）＜6，

3x﹣3﹣5x﹣1＜6，

∴﹣2x＜10．

∴x＞﹣5．

又x＞m，且不等式组的解集我x＞﹣5，

∴m≤﹣5．

16．（8分）某专卖店销售一种工业设备，3月份的售价2万元/台，共销售60台．根据市场销售经验知：当这种设备售价每增加0.1万元/台时，每月就会少售出1台．4月份该专卖店想将销售额提高25%，这种设备售价应定价为多少万元/台？

【解答】解：设这种设备售价应定价为x万元/台，

由题意得：x（60﹣）＝2×60×（1+25%），

整理得：x²﹣8x+15＝0，

解得：x₁＝3，x₂＝5，

答：这种设备售价应定价为3万元/台或5万元/台．

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了两个格点△ABC和△DEF（顶点是网格线的交点），已知△ABC和△DEF成中心对称．

（1）在图中找出对称中心O，并示意过程；

（2）将△DEF经过怎样平移，可与△ABC组成平行四边形？在正方形网格中画出能组成的平行四边形．

【解答】解：（1）如图，连接AD，BE，CF，相交于点O，

则△ABC和△DEF关于点O成中心对称，

则点O即为所求．

（2）如图，将△DEF向左平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，可与△ABC组成平行四边形ABD'C．

将△DEF向左平移1个单位长度，向上平移4个单位长度，可与△ABC组成平行四边形ABCE'．

18．（8分）在“书香社区”全民阅读活动中，某社区读书联盟计划举行一次参加活动有奖送书活动，活动规则是：在一个装有2个红球和3个白球（每个球除颜色外，其它都相同） 的不透明盒中，请每位参加活动的社区居民随机摸球一次，然后送书．联盟做了三种活动计划．计划1：随机摸一个球，摸到红球送一本精美图书；计划2：随机同时摸两个球，同时摸到2个都是红球送一本精美图书；计划3：随机同时摸两个球，摸到的两个球中，其中只要有一个是红球送一本精美图书．

（1）分别求活动计划1和活动计划2中，居民获得精美图书的概率；

（2）三种活动计划中，哪种计划送出的精美图书最多？为什么？

【解答】解：（1）活动计划1：共有5种等可能的结果，其中摸到红球的结果有2种，

∴居民获得精美图书的概率为．

活动计划2：列表如下：

共有20种等可能的结果，其中同时摸到2个都是红球的结果有2种，

∴居民获得精美图书的概率为＝．

（2）活动计划3：列表如下：

共有20种等可能的结果，其中至少有一个是红球的结果有14种，

∴居民获得精美图书的概率为＝．

∵＞＞

∴活动计划3送出的精美图书最多．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）已知一次函数y₁＝ax+b与反比例函数的图象相交于A（﹣1，6）、B（﹣3，2）两点．

（1）当x＜0时，比较y₁与y₂的大小；

（2）在y轴上找一点P，使得△PAB的周长最小，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵一次函数y₁＝ax+b过A（﹣1，6）、B（﹣3，2），

∴

解得a＝2，b＝8，

∴一次函数的关系式为y₁＝2x+8，

∵反比例函数的图象过A（﹣1，6），

∴k＝﹣1×6＝﹣6，

∴反比例函数的关系式为y₂＝﹣

两个函数的图象如图所示，由图象可知，

当x＜﹣3或﹣1＜x＜0时，y₂＞y_1，

当﹣3＜x＜﹣1时，y₁＞y₂；

（2）如图，作点A（﹣1，6）关于y轴对称点A′，则A′（1，6），

设直线BA′的关系式为y＝mx+n，则

解得

∴直线BA′的关系式为y＝x+5，

当x＝0时，y＝5，

∴点P（0，5），此时△PAB的周长最小．

20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，E、F两点分别在BC、CD边上，EF∥BD，连接AFAE，分别交BD于P，Q两点．

（1）求证：S_△ABE＝S_△ADF；

（2）求证：BQ＝DP．

【解答】证明：（1）连接DE，BF，

∵FE∥BD，

∴△DFB的面积＝△BDE的面积，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，CD∥AB，

∴△ABE的面积＝△BDE的面积，△ADF的面积＝△DFB的面积，

∴S_△ABE＝S_△ADF；

（2）过A作AM⊥BD于M，过E作EN⊥BD于N，

∵△ADF的面积＝△ABE的面积，

∴△ADP的面积+△PDF的面积＝△ABQ的面积+△BEQ的面积，

∴PD•AMPD•EN＝BQ•AM+BQ•EN，

∴PD•（AM+EN）＝BQ•（AM+EN），

∴PD＝BQ．

六、（本题满分12分）

21．（12分）关于x的一次函数y＝kx+b（k，b为常数，且k≠0）．

（1）若其图象经过（﹣1，m），（m，1）两点，且m＞1，试判断该函数图象所经过的象限；

（2）若b＝2k+3，对于任意实数k，其图象都经过定点P，求点P的坐标．

【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b的图象经过（﹣1，m），（m，1）两点，

∴﹣k+b＝m，mk+b＝1，解得：k＝（1﹣m）/（m+1），b＝（m2+1）/（m+1），

∵m＞1，

∴1﹣m＜0，m+1＞0，m2+1＞0，

∴k＜0，b＞0，

∴该函数的图形经过第一、二、四象限；

（2）∵b＝2k+3，

∴y＝kx+b＝kx+2k+3

即y＝k（x+2）+3，

对于任意实数k，都有当x＝﹣2时，y＝3，

∴对于任意实数k，其图象都经过定点（﹣2，3），

故点P的坐标为（﹣2，3）．

七、（本题满分12分）

22．（12分）已知关于x的二次函数y＝a（x﹣m）²﹣a（x﹣m）（a，m为常数，且a≠0）．

（1）若该二次函数图象的顶点M（2，3），求a，m的值；

（2）设该函数的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点N，Q为函数图象的顶点．当△ABQ的面积与△ABN的面积相等时，求m的值．

【解答】解：（1）由题意，∵y＝a（x﹣m）²﹣a（x﹣m）＝a[（x﹣m）²﹣（x﹣m）+]﹣a＝a（x﹣m﹣）²﹣a，

∴顶点为（m+，﹣a）．

又顶点M（2，3），

∴m+＝2，﹣a＝3．

∴a＝﹣12，m＝．

（2）由题意，当x＝0时，y＝a（0﹣m）²﹣a（0﹣m）＝am²+am，

∴点N的坐标为（0，am²+am）．

又令y＝0，

∴a（x﹣m）²﹣a（x﹣m）＝a（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0．

∴x₁＝m，x₂＝m+1．

∴AB＝（m+1）﹣m＝1．

∴△ABN的面积＝×1×|am²+am|．

又y＝a（x﹣m）²﹣a（x﹣m）＝a（x﹣m﹣）²﹣a，

∴△ABQ的面积＝×1×|﹣a|．

∵△ABQ的面积与△ABN的面积相等，

∴×1×|am²+am|＝×1×|﹣a|．

整理得，m²+m﹣＝0或m²+m+＝0，

解得m＝或m＝﹣．

八、（本题满分14分）

23．（14分）四边形ABCD内接于⊙O，AB＝AD，对角线AC、BD相交于E点．

（1）如图1，点F为AC上一点，∠BFC＝2∠CFD＝∠BAD．

①求证：△ABF∽△DBC；

②求的值．

（2）如图2，求证：．

【解答】（1）①证明：∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB，

∵∠BFC＝∠BAC+∠ABF，∠BFC＝∠BAD＝∠BAC+∠CAD，

∴∠DAC＝∠ABF，

∵∠DBC＝∠CAD，

∴∠ABF＝∠DBC，

∵∠BAF＝∠BDC，

∴△ABF∽△DBC；

②解：作∠BFC的角平分线交BC于点G，

则∠CFG＝∠BFC＝∠CFD，

∵AB＝AD，

∴∠ACB＝∠ACD，

∵CF＝CF，

∴△FCG≌△FCD（ASA），

∴CG＝CD，

∵∠CBD＝∠ABF，

∴∠ABD＝∠FBC＝∠ACD＝∠ACB，

∴FB＝FC，

∴FG垂直平分BC，

∴CG＝BG＝BC＝CD，

∴＝2，

∵△ABF∽△DBC，

∴＝2，

∴BF＝2AF＝CF，

∴AC＝AF+CF＝3AF，

∴＝．

（2）证明：在AC上截取点F，使∠ABF＝∠CBD，连接BF，

由（1）①知△ABF∽△DBC，

∴

∴AF•BD＝AB•CD...①

由（1）②知∠ABD＝∠FBC＝∠ACD＝∠ACB＝∠ADB，

∴△FBC∽△ABD，

∴

∴BD•CF＝AD•BC...②

①+②得，AF•BD+BD•CF＝AB•CD+AD•BC，

∵AB＝AD，

∴BD•（AF+CF）＝AB•（CD+BC），

即BD•AC＝AB•（CD+BC），

∴．

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