高考物理：力学强化篇——动态平衡与临界极值解析

大家好，感谢邀请，今天来为大家分享一下高考物理：力学强化篇——动态平衡与临界极值解析的问题，以及和的一些困惑，大家要是还不太明白的话，也没有关系，因为接下来将为大家分享，希望可以帮助到大家，解决大家的问题，下面就开始吧！

动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为平衡状态。

常用方法：图解法、解析法、相似三角形法、辅助圆法、正弦定理法。

1．“一力恒定，另一力方向不变”的动态平衡问题

(1)一个力恒定，另一个力始终与恒定的力垂直，三力可构成直角三角形，可作不同状态下的直角三角形，分析力的大小变化，如图甲所示。

(2)一力恒定，另一力与恒定的力不垂直但方向不变，作出不同状态下的矢量三角形，确定力大小的变化，在变化过程中恒力之外的两力垂直时，会有极值出现，如图乙所示

2．“一力恒定，另两力方向均变化”的动态平衡问题

一力恒定(如重力)，其他二力的方向均变化，但二力分别与绳子、两物体重心连线方向等平行，即三力构成的矢量三角形与绳长、半径、高度等实际几何三角形相似，则对应边比值相等。基本矢量图，如图所示：

基本关系式：

3．一力恒定，另外两力方向均变化，但两力方向夹角保持不变的动态平衡问题 利用正弦定理或利用辅助圆，恒力为圆的一条弦，恒力所对应角的顶点在圆上移动，可保持圆心角不变，根据不同位置判断各力的大小变化。

例1　(多选)如图所示，在倾角为α的斜面上，放一质量为m的小球，小球和斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中(　　)

A．斜面对球的支持力逐渐增大

B．斜面对球的支持力逐渐减小

C．挡板对小球的弹力先减小后增大

D．挡板对小球的弹力先增大后减小

答案　BC解析　

对小球受力分析知，小球受到重力mg、斜面的支持力FN1和挡板的弹力FN2，如图，当挡板绕O点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡条件得知，FN1和FN2的合力与重力mg大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FN1逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减小后增大，当FN1和FN2垂直时，弹力FN2最小，故选项B、C正确，A、D错误。

例2　如图所示为一简易起重装置，AC是上端带有滑轮的固定支架，BC为质量不计的轻杆，杆的一端C用铰链固定在支架上，另一端B悬挂一个质量为m的重物，并用钢丝绳跨过滑轮A连接在卷扬机上。开始时，杆BC与AC的夹角∠BCA>90°，现使∠BCA缓慢变小，直到∠BCA＝30°(不计一切阻力)。在此过程中，杆BC所产生的弹力(　　)

A．大小不变

B．逐渐增大

C．先增大后减小

D．先减小后增大

答案　A 解析　

以结点B为研究对象，分析受力情况，作出力的合成图如图，根据平衡条件知，F、FN的合力F合与G大小相等、方向相反。

根据三角形相似得F合AC＝FAB＝FNBC，又F合＝G，得FN＝BCAC G∠BCA缓慢变小的过程中，AC、BC不变，则FN不变，故杆BC所产生的弹力大小不变，故选A。例3　(多选)如图，柔软轻绳ON的一端O固定，其中间某点M拴一重物，用手拉住绳的另一端N。初始时，OM竖直且MN被拉直，OM与MN之间的夹角为α(α＞π2)。现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变。在OM由竖直被拉到水平的过程中(　　)

A．MN上的张力逐渐增大

B．MN上的张力先增大后减小

C．OM上的张力逐渐增大

D．OM上的张力先增大后减小

答案　AD 解析　

法一：以重物为研究对象分析受力情况，受重力mg、OM绳上拉力F2、MN上拉力F1，由题意知，三个力的合力始终为零，矢量三角形如图所示，F1、F2的夹角不变，在F2转至水平的过程中，矢量三角形在同一外接圆上，由图可知，MN上的张力F1逐渐增大，OM上的张力F2先增大后减小，所以A、D正确，B、C错误。

法二：正弦定理，根据正弦定理mgsin θ3＝F1sin θ1＝F2sin θ2，mg与sin θ3保持不变，sin θ1变大，F1变大，sin θ2先增大后减小，F2先增大后减小，故选A、D。

考点二　平衡中的临界、极值问题

1．临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等。

临界问题常见的种类：

(1)由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力。

(2)绳子恰好绷紧，拉力F＝0。

(3)刚好离开接触面，支持力FN＝0。

2．极值问题

平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。

3．解题方法

(1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小。(2)数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系(或画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。

(3)物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值。也可利用“摩擦角”将四力平衡转化为三力平衡，从而求拉力的最小值。例如：如图所示，物体在拉力F作用下做匀速直线运动，改变θ大小，求拉力的最小值时，可以用支持力与摩擦力的合力F′代替支持力与摩擦力，Fmin＝mgsinθ，其中FN与Ff的合力F′方向一定，“摩擦角”θ满足tanθ＝FfFN。例4　如图所示，一光滑球体放在支架与竖直墙壁之间，支架的倾角θ＝60°，光滑球体的质量为m，支架的质量为2m，已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，整个装置保持静止，则支架和地面间的动摩擦因数至少为(　　)

例5　如图所示，质量m＝5.2 kg的金属块放在水平地面上，在斜向右上的拉力F作用下，向右以v0＝2.0 m/s的速度做匀速直线运动。已知金属块与地面间的动摩擦因数μ＝0.2，g＝10 m/s2。求所需拉力F的最小值。

课时精练

1．如图甲所示，笔记本电脑支架一般有多个卡位用来调节角度，某人将电脑放在该支架上，由卡位4缓慢调至卡位1(如图乙)，电脑与支架始终处于相对静止状态，则(　　)

A．电脑受到的支持力变大

B．电脑受到的摩擦力变大

C．支架对电脑的作用力减小

D．电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和等于其重力大小

答案　A解析　根据题意，电脑始终处于平衡状态，对电脑受力分析，如图所示，由平衡条件可得，电脑受到的支持力大小为FN＝Gcos θ

电脑受到的摩擦力大小Ff＝Gsin θ由卡位4缓慢调到卡位1，θ减小，故FN增大，Ff减小，故B错误，A正确。支架对电脑的作用力即为电脑受到的支持力与摩擦力的合力，支持力与摩擦力的合力大小等于电脑的重力，保持不变，根据“三角形两边之和大于第三边”可知，电脑受到的支持力与摩擦力两力大小之和大于其重力大小，C、D错误。

2.如图所示，用一个质量不计的网兜把足球挂在光滑竖直墙壁上的A点，足球与墙壁的接触点为B。若只增大悬绳的长度，足球始终保持静止状态，关于悬绳对球的拉力F和墙壁对球的支持力FN，下列说法正确的是(　　)

A．F和FN都增大

B．F增大，FN减小

C．F减小，FN增大

D．F和FN的合力不变

答案　D解析　

对球受力分析，由平衡条件得悬绳对球的拉力满足Fcos θ＝mg，墙壁对球的支持力满足tan θ＝FNmg，所以当增大悬绳的长度时，夹角θ减小，则cos θ增大，tan θ减小，所以F和FN都减小，故A、B、C错误；因为足球始终保持静止状态，所以F和FN的合力始终与mg等大反向，故D正确。

3．如图甲所示，用瓦片做屋顶是我国建筑的特色之一。铺设瓦片时，屋顶结构可简化为图乙所示，建筑工人将瓦片轻放在两根相互平行的檩条正中间，若瓦片能始终静止在檩条上。已知檩条与水平面夹角均为θ，瓦片质量为m，檩条间距离为d，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　)

A．瓦片共受到4个力的作用

B．檩条对瓦片作用力方向垂直檩条向上C．缓慢减小檩条的倾斜角度θ时，瓦片与檩条间的摩擦力变大

D．缓慢增大檩条间的距离d时，两根檩条对瓦片的弹力都增大

答案　D解析　

瓦片受重力、两根檩条的支持力和摩擦力，共5个力，A错误；檩条对瓦片作用力应为支持力与摩擦力的合力，方向竖直向上，B错误；摩擦力等于mgsin θ，减小檩条的倾斜角度θ时，摩擦力减小，C错误；檩条对瓦片的两个弹力等大，合力等于mgcos θ，当增大檩条间的距离 d时，两弹力与竖直方向的夹角增大，则两弹力增大，D正确。

4.如图所示，晾晒衣服的绳子(可视为轻绳)固定在两根竖直杆A、B上，绳子的质量及衣架挂钩之间的摩擦均可忽略不计，衣服处于静止状态。保持A杆及A杆上绳子的结点位置不动，则下列说法正确的是(　　)

A．若保持绳子的长度、绳子与B杆的结点不变，将B杆缓慢向右移动，绳子上的拉力大小逐渐减小

B．若保持绳子的长度、B杆的位置不变，将绳子与B杆的结点缓慢向上移动，绳子上的拉力大小逐渐增大

C．若保持绳子的长度、B杆的位置不变，将绳子与B杆的结点缓慢向下移动，绳子上的拉力大小保持不变

D．若保持绳与B杆的结点不变，只改变绳子的长度，绳子上的拉力大小可能保持不变

答案　C

解析　若保持绳子的长度、绳子与B杆的结点不变，将B杆缓慢向右移动，绳子与竖直方向之间的夹角增大，绳子上的拉力逐渐增大，故A错误；若保持绳子的长度、B杆的位置不变，只移动绳子与B杆的结点，绳子与竖直方向之间的夹角保持不变，绳子上的拉力保持不变，故B错误，C正确；若只改变绳子的长度，则绳子与竖直方向之间的夹角一定随之改变，绳子上的拉力一定改变，故D错误。

5.如图所示，某健身者右手拉着抓把沿水平方向从图示位置B缓慢移动到位置A，不计绳子质量，忽略绳子和重物与所有构件间的摩擦，A、B、重物共面，则重物上升过程中(　　)

A．绳子的拉力逐渐增大

B．该健身者所受合力逐渐减小

C．该健身者对地面的压力逐渐减小

D．该健身者对地面的摩擦力逐渐增大 答案　D

解析　由题意可知，重物和健身者一直处于动态平衡状态，由平衡条件可知，健身者所受合力等于零，绳上的拉力大小不变，其大小等于重物的重力mg，A、B错误；对健身者受力分析，如图所示，由平衡条件可知，在竖直方向，则有FTsin θ＋FN＝Mg，又有FT＝mg，可得FN＝Mg－mgsin θ，在水平方向，则有FTcos θ＝Ff，当从B缓慢移到A时，θ角逐渐变小，地面对健身者的支持力逐渐变大，地面对健身者的摩擦力逐渐变大，由牛顿第三定律可知，健身者对地面的压力逐渐增大，健身者对地面的摩擦力逐渐增大，C错误，D正确。

6.在水平外力F的作用下，A、B两个圆柱体按如图所示的方式分别放在水平地面、靠在竖直墙面，将A缓慢向右移动一小段距离(B未与地面接触)，不计一切摩擦，则在此过程中，关于水平地面对A的弹力N1、竖直墙面对B的弹力N2，下列说法正确的是(　　)

A．N1不变，N2变大

B．N1变小，N2变大

C．N1变大，N2变小

D．N1不变，N2变小

答案　A

解析　以圆柱体B为研究对象，分析受力如图所示

当将A缓慢向右移动一小段距离，F1与竖直方向的夹角增大，由图看出墙对B的弹力N2增大；以圆柱体A、B整体为研究对象，根据平衡条件，在竖直方向有N1＝(mA＋mB)g，当将A缓慢向右移动一小段距离，水平地面对A的弹力FN1不变，故A正确，B、C、D错误。

7.如图所示，物体甲放置在水平地面上，通过跨过光滑定滑轮的轻绳与小球乙相连，整个系统处于静止状态。现对小球乙施加一个水平力F，使小球乙缓慢上升一小段距离，整个过程中物体甲保持静止，甲受到地面的摩擦力为Ff，则该过程中(　　)

A．Ff变小，F变大 B．Ff变小，F变小C．Ff变大，F变小 D．Ff变大，F变大答案　D

解析　以小球乙为研究对象受力分析，设绳与竖直方向的夹角为α，根据平衡条件可得，水平拉力F＝mgtanα，夹角α逐渐增大，则水平拉力F逐渐增大，绳子的拉力为FT＝mgcosα，故绳子的拉力逐渐增大；以物体甲为研究对象受力分析，根据平衡条件可得，物体甲受到的地面的摩擦力与绳子拉力水平方向的分力等大反向，Ff＝FTcosθ＝mgcosθcos α，逐渐增大，故选D。

8.制作木器家具时，工人师傅常在连接处打入木楔，如图所示，假设一个不计重力的木楔两面对称，顶角为α，竖直地被打入木制家具缝隙中。已知接触面的动摩擦因数为μ，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。要使木楔能自锁而不会自动滑动，α与μ应满足(　　)

9.如图所示，竖直面内固定一光滑大圆环轨道，O为圆心，在大圆环轨道最高点A固定一个光滑的小滑轮，一轻绳绕过小滑轮，一端连接套在大圆环轨道上的小球，用力F拉轻绳另一端，在小球从B点缓慢上升到C点的过程中，有(　　)

A．拉力F逐渐增大

B．拉力F先减小后增大

C．小球对大圆环轨道的压力大小保持不变

D．小球对大圆环轨道的压力先增大后减小

10.小李发现小区的消防通道被一质量为m的石墩挡住了，为了移开石墩小李找来一根结实的绳子，将绳的一端系在石墩上，双手紧握绳的另一端用力斜向上拖拽石墩。设绳子与水平方向的夹角为θ，小李对绳施加的最大拉力为0.6mg，g为重力加速度，石墩与水平地面间的动摩擦因数为3)3，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则下列说法正确的是(　　)

11.如图所示，在质量为m的物块甲上系着两条细绳，其中长30 cm的细绳另一端连着轻质圆环，圆环套在水平棒上可以滑动，圆环与棒间的动摩擦因数μ＝0.75。另一细绳跨过光滑定滑轮与重力为G的物块乙相连，定滑轮固定在距离圆环50 cm的地方，系统处于静止状态，OA与棒的夹角为θ，两绳夹角为φ。当G＝6 N时，圆环恰好开始滑动。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8。求：

(1)OA绳与棒间的夹角θ；

(2)物块甲的质量m。

答案　(1)53°　(2)1 kg

解析(1)当圆环恰好要开始滑动时，设此时水平棒对圆环的支持力大小为FN，细绳对圆环的拉力大小为FT，对圆环受力分析，如图甲所示，根据平衡条件有μFN＝FTcos θ①

FN＝FTsin θ②，联立①②解得θ＝53°(2)由题意，根据几何关系可知φ＝90°，按如图乙所示，以O为坐标原点建立xOy直角坐标系，对物块甲受力分析，根据平衡条件有Gcos θ＋FTsin θ－mg＝0③

FTcos θ－Gsin θ＝0④，联立③④解得m＝1 kg。

12.(多选)如图所示，把倾角为30°的粗糙斜面体C置于粗糙水平地面上，质量为2m的物块A通过跨过光滑轻定滑轮的轻绳与质量为m的小球B连接，O点为轻绳与定滑轮的接触点，初始时，小球B在水平向右的拉力F作用下，使轻绳OB段与水平拉力F的夹角为θ＝120°，A、B均保持静止状态。现改变拉力F，并保持夹角θ大小不变，将小球B向右上方缓慢拉起至OB水平，物块A始终保持静止状态。g为重力加速度，下列关于该过程的说法正确的是(　　)

用户评论

墨染年华

感觉这篇文章讲解得特别透彻，我之前对动态平衡和临界极值都很茫然，现在终于明白了！那些平时做题遇到的难题也找到了解决方法了。真是牛逼啊！

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陌潇潇

高三学生来说物理的确是重点学科，力学更是难点重重，这篇文章正好能帮我梳理一下思路，准备冲刺高考挺有用的！希望以后还能够持续更新一些针对性的练习题和解析。

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凉笙墨染

每次遇见动态平衡这些概念真的要崩溃了，感觉脑瓜子都烧坏了。看了这篇文章，发现原来并没有那么复杂，关键是找到规律啊！

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致命伤

对于那些对物理不太擅长的同学来说，这篇文章的讲解可能有点难度，建议可以先复习一下基础知识再来看这样才能更好地理解.

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熟悉看不清

我一直觉得力学最让人头疼的就是各种极限问题，这篇博客解释得很清晰，特别是临界极值部分确实很有帮助！期待看到更多关于力学的干货分享!

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赋流云

高考物理真是一道考验！这篇文章总结的内容很全面，涵盖了动态平衡和临界极值的典型问题的解题思路，非常实用！

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雨后彩虹

写的简单明了易懂啊，这种分析方法的确很有用，不过我仍然觉得有些问题还是比较吃力，希望老师能够多分享一些实际的例子和练习题解决这些困惑。

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满心狼藉

太感谢作者了，这篇文章让我对动态平衡和临界极值有了更深刻的理解！以前总觉得这两个概念很难突破，现在感觉解题之路终于明朗了！

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心脏偷懒

我读物理专业本科毕业的，看到这篇文章也感觉挺不错的！其实力学是一个很有意思的学科，通过这个博客也能帮助很多学生更好地掌握这种神奇的力量！

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作业是老师的私生子

文章写得很好，很注重解释原理和解题思路。但个人觉得有些公式推导过程的讲解可以更详细一些，这样对理解更有帮助!

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独角戏°

动态平衡这个概念还是挺重要的，这篇文章把重点都抓住了，尤其临界极值的例子讲解得很生动形象，让我印象深刻！

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颓废i

高考物理确实很难受，力学又是必考知识点，希望以后还能够看到更多关于力学强化训练的文章！

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嘲笑！

我觉得这篇文章很适合用来复习利用它来进行练习。因为很多题目的解法思路就是按照博客中的步骤一步步来完成的，很容易上手!

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軨倾词

对于我这样的刚接触物理的学生来说，这篇文章讲解有点快了，需要花更多时间去理解和消化。建议可以添加一些基础概念的讲解，更容易初学者入门！

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南宫沐风

文章重点突出，逻辑清晰，图文并茂，很容易读懂！相信对准备参加高考物理考试的学生非常有帮助!

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此生一诺

我觉得文章还可以增强一些互动性，比如添加一些问题供读者思考或者留言区进行讨论，这样可以促进学习效果!

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玩味

动态平衡和临界极值是力学中的重要概念，这篇文章的讲解很详细，帮助我更好地理解了这两个概念之间的联系！

    有17位网友表示赞同！

泪湿青衫

希望以后能看到更多关于高考物理的干货分享！尤其是一些经典习题解析和技巧总结，这样对备考同学会更有帮助!

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