高考数学知识点归纳：导数与导数概念

行讲解。

一、导数的概念

1.导数的定义

在高中数学中，导数指的是函数在某一点的瞬时变化率。用数学符号表示，就是导数f'(x)=lim(Δx→0) [f(x+Δx)-f(x)]/Δx。

2.导数的几何意义
在高中数学中，导数还具有以下几何意义：

（1）函数在某一点的切线斜率：导数可以理解为函数在某一点的瞬时变化率，也可以理解为函数在某一点处的切线斜率。

（2）函数在某一点的切线方向：导数可以理解为函数在某一点处的切线方向，也可以理解为函数在某一点的切线斜率所表示的方向。

（3）函数在某一点的切线长度：导数可以理解为函数在某一点处的切线长度，也可以理解为函数在某一点处的切线斜率所表示的线段长度。

3.导数的四则运算法则
导数的四则运算法则包括：

（1）导数的加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都关于x=a对称，那么它们的导数f'(x)和g'(x)也关于x=a对称。

（2）导数的减法法则：如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么它在xa处的导数f'(x)的符号相反。

（3）导数的乘法法则：如果一个函数f(x)在x=a处可导，那么它在xa处的导数f'(x)的符号相同。

（4）导数的链式法则：如果一个函数f(g(x))在x=a处可导，那么它的导数f'(g(x))=f'(u)·u'（其中u=g(x)）。

二、导数的应用

导数在高中数学中具有广泛的应用，下面列举一些常见的应用：

1.最值问题：最值问题通常用导数来解决，如最值问题“函数的最小值与最大值问题”、“函数的最大值与最小值问题”等。

2.单调性问题：导数还可以用于判断函数的单调性，如判断函数f(x)=x^2在R上是否单调递增或单调递减。

3.凸凹性问题：导数还可以用于判断曲线的凸凹性，如判断函数f(x)=x^3在R上是否为凸函数或凹函数。

4.曲线的图形问题：导数还可以用于描绘曲线的图形，如求函数f(x)=x^2在R上的图像。

三、导数的练习

下面列举一些导数的练习题：

1.已知函数f(x)=x^3，求f'(x)和f(x)。

2.已知函数g(x)=1/x，求g'(x)和g(x)。

3.已知函数h(x)=sin(x)，求h'(x)和h(x)。

4.已知函数p(x)=x^2，求p'(x)和p(x)。

5.已知函数q(x)=sin(2x)，求q'(x)和q(x)。

答案：
1.f'(x)=3x^2
f(x)=x^3
2.g'(x)=-1/x^2
g(x)=1/x
3.h'(x)=cos(x)
h(x)=sin(x)
4.p'(x)=2x
p(x)=x^2
5.q'(x)=2cos(2x)