高中数学学测知识点总结：三角函数与勾股定理

一、三角函数

1. 基本概念

三角函数是指正弦（sin θ）、余弦（cos θ）和正切（tan θ）函数，它们仅适用于直角三角形。三角函数值域在[-1, 1]之间，且满足诱导公式：sin θ = cos (90° - θ)，tan θ = sin θ / cos θ，余弦函数为偶函数，正弦函数为奇函数。

2. 特殊角值

正弦函数在θ=30°时，sin θ = 1/2；在θ=60°时，sin θ = √3/2；在θ=90°时，sin θ = 0（为0的特殊情况）。

余弦函数在θ=30°时，cos θ = √3/2；在θ=60°时，cos θ = 1/2；在θ=90°时，cos θ = 0（为0的特殊情况）。

正切函数在θ=45°时，tan θ = 1；在θ=45°时，tan θ = -1（为-1的特殊情况）。

3. 三角函数基本关系

sin 2θ = 2sin θ cos θ，cos 2θ = cos 2θ - sin 2θ = 2cos^2 θ - 1 = 1-2sin^2 θ，tan 2θ = 2tan θ / (1-tan^2 θ) = 2tan θ / (1-cos^2 θ)。

4. 三角函数在三角形中的应用

正弦函数在直角三角形中的应用：计算直角边与斜边之比，计算角度的正弦值。

余弦函数在直角三角形中的应用：计算直角边的平方和，计算角度的余弦值。

正切函数在直角三角形中的应用：计算直角的正切值，计算角度的正切值。

二、勾股定理

1. 基本概念

勾股定理是指直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的定理。即a^2 + b^2 = c^2，其中a、b为直角边，c为斜边。

2. 特殊情况

当直角边为0时，a^2 + b^2 = c^2变为0^2 + 0^2 = 0^2，此时无解。

当斜边为0时，a^2 + b^2 = 0^2，此时无解。

当直角边为1，斜边为√2时，a^2 + b^2 = c^2，此时a = 1/√2，b = √2/√2 = 1/√2。

当直角边为1，斜边为√3时，a^2 + b^2 = c^2，此时a = 1/√3，b = √3/√3 = 1。

3. 勾股定理在三角形中的应用

根据勾股定理，可以计算出三角形的三条边长，进而计算出角度的正弦值、余弦值和正切值。

在计算三角形中角度的正弦值时，有sin θ = a/c，其中a为直角边，c为斜边。

在计算三角形中角度的余弦值时，有cos θ = b/c，其中b为直角边，c为斜边。

在计算三角形中角度的正切值时，有tan θ = a/b，其中a为直角边，b为斜边。