高中数学题解析：巧解复杂三角形

解析这道题目。

题目背景

我们来解析一道高中数学的复杂三角形题目。这道题目是由一位同学请教我的，原题是这样的：

已知△ABC中，∠A=60°，∠B=75°，∠C=45°，求△ABC的面积S。

很多同学都会按照常规的方法来解决这道题目，但是解法却出错。有些人会借助于诱导公式，但是这种方法比较复杂。也有一些同学会尝试用角度关系来解题，但是这种方法也比较麻烦。

解题思路

其实，这道题目的解法非常简单。我们可以通过一个简单的图形来帮助我们理解解题思路。

首先，我们将△ABC绕点O顺时针旋转90°，使∠AOC=60°，∠BOC=75°。然后，我们可以得到一个新的三角形△AOB，其中∠AOB=180°-∠A-∠B=65°。

接下来，我们可以利用正弦定理来求解。根据正弦定理，有：
$\{\sin A}=\{\sin B}=\{\sin C}$
代入题目中的数据，可以得到：
$\{\sin 60°}=\{\sin 75°}=\{\sin 45°}$
化简得：
$a=\{\sin 75°}$
$c=\{\sin 75°}$

我们可以发现，这道题目中的三角形△AOB实际上就是一个等腰直角三角形，所以我们可以将它看作是△ABC的一个简化模型。

接下来，我们可以利用等腰直角三角形的性质来求解。由于△AOB是等腰直角三角形，所以∠AOB=45°。因此，我们可以得到：
$\sin 45°=\{c}$
代入上面求得的式子，可以得到：
$\{\sin 75°}=\{\sin 45°}$
化简得：
$\sin 60°=\sin 45°$

显然，这个等式是不成立的。因此，原题中的解法是错误的。

巧解方法

其实，这道题目的解法并没有那么复杂。我们可以利用诱导公式来解决这道题目。

根据诱导公式，有：
$\sin (90°-x)=\cos x$
我们可以将题目中的∠AOC看作是∠AOC=90°-∠A，∠BOC看作是∠BOC=90°-∠B，那么题目就可以转化为：
$\sin (90°-60°)=\sin (90°-75°)$
根据诱导公式，有：
$\sin (90°-x)=\cos x$
因此，我们可以得到：
$\cos 30°=\sin (90°-60°)=\sin (90°-75°)$
所以，这道题目的解法就是利用诱导公式来求解。最终的答案为：
$S=\{2}ac=\{2}\cdot\{\sin 45°}\cdot\{\sin 45°}=\{4}b^2$

因此，这道题目的解法就是利用诱导公式来求解。