惊人对比：画鸡蛋的两种人生轨迹，一位成为画坛巨匠，另一位成为科学精英

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不过另外一个画鸡蛋的故事搞出了大事情。

麦克斯韦（James Clerk Maxwell, 1831-1879）, 苏格兰数学物理学家。他第一个给出了卵形线的方程，时年仅14岁。麦克斯韦系统地研究过他那个时代的所有物理学分支，他的关于电磁学和气体运动的著作至今依然被奉为经典。麦克斯韦研究电磁现象，得出了著名的麦克斯韦方程组；研究光学与视觉，不仅给出了颜色的理论，还拍出了第一张彩色照片；研究气体的运动，得出了麦克斯韦分布。

数学界有个玩笑，说把一个人从睡梦中叫醒，问他什么是庞加莱引理，回答不上来的，肯定不是微分几何学家。类似的严肃玩笑也适用于物理学家。把一个人从睡梦中叫醒，让他写出麦克斯韦方程组。写不出来的，算不得物理学家。一个还算像样点的物理学家，不仅要能写得出麦克斯韦方程组，其实也要懂得什么是庞加莱引理，因为庞加莱引理对物理学家来说可能要比对数学家意味着更多的东西。

据说，麦克斯韦小时候也被要求去学画画，好像学画画的基本功练习就是画蛋。有一天，麦克斯韦想到：要是能给出蛋的方程的话，画蛋可能就容易了。1845年，麦克斯韦在他十四岁时终于想明白了鸡蛋方程该是什么样子的。

麦克斯韦从椭圆出发。椭圆可以定义为到两个点（焦点）距离之和为常数的点的集合，这个条件写成方程就是 l₁+l₂+=C。我们还可以写得更仔细一点1×l₁+1×l₂=C。到两点的距离，都有同样的倍数，为1，因此椭圆关于这两个焦点是对称的。如果到两点的距离有不同的倍数，也即把方程变成a×l₁+1×l₂=C的样子，所得的图形是否就一头大一头小像个鸡蛋了呢？读者很容易看出，确实是这样（图2）。麦克斯韦仔细研究了到两点距离取不同倍数所得到的卵形线的性质。麦克斯韦的父亲非常为儿子感到自豪，他把麦克斯韦的研究结果呈送给爱丁堡大学的教授Forbes，得到了高度评价。1846年，麦克斯韦关于卵形线的研究成果发表在苏格兰皇家科学院的院刊上，那一年他15岁。

麦克斯韦为我们留下了许多宝贵的科学遗产，这包括关于气体运动的理论和关于视觉与光学的理论。前者具体地指大学物理中常提到的关于气体分子速度的麦克斯韦-玻尔兹曼分布，后者包括他的红绿蓝三原色理论。图3所示的照片就是根据麦克斯韦三原色理论得到的人类第一张彩色照片。此外，他还是第一个注意到物理学中量纲分析的人。

蛋圆曲线指的是正劈锥面被平面所截得的交线的投影即为平面蛋圆曲线，方程式为 x^2/a^2 + y^2 / (ky + b)^2 = 1, 绝对值k小于1，平面上至少有一条对称轴的卵形曲线是蛋圆曲线。蛋圆属于劈锥曲线族，是四次方程曲线。在椭圆方程中，令a = b = r ，椭圆即成为特例——圆；而椭圆又是蛋圆的一种特例。

鸡蛋曲线方程推导：

设准线为椭圆的正劈锥面方程为 x^2 / a^2 + y^2 / z^2 = 1,其轴为 x 轴，准线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1，以平行于劈锥面轴的平面z = ky + b 去截正劈锥面，得交线为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1

z = ky + b (2)

将（2）投影到 xOy 平面上，即得蛋圆标准方程（1），见图4。

仿椭圆参数方程，引入角参数 t ，蛋圆参数方程为

{ x = a cos t

y = b sin t / ( 1－k sin t) (∣k∣﹤1) (3)。

令（1）在三维直角坐标系中绕 y 轴旋转，得出旋转蛋球面方程（详见图5）：

蛋圆（1）的取值范围：a >0, b >0, ︱k︱< 1。

因为 k 是平面 ky + b 对于 zOx 坐标面的斜率，︱k︱﹥ 1时，平面在正劈锥面上不能截到封闭的卵形线，k = 0 时（1）成为特例——椭圆。b = 0 时（1）成为两条直线： —a ≤ x ≤ a ；

－b / (1 + k) ≤ y ≤ b / (1 － k)。

蛋圆（1）内线段：（1）与 x 轴两个交点的连接线段称“横径”，其长度记为 2r，横径被其中点所分成的两个线段称“对称半径”，其长度记为r ,r = a ；(1)以 y 轴为唯一对称轴，是偶函数，（1）与其对称轴的两个交点间的线段称“直径”，其长度记为 d ，

d = b / (1－k) － [－b/ (1 + k )] = 2b /(1－k^2)；直径与横径的比值称圆度记为u，u = d / 2r = b / a(1－k^2)，当u = 1时蛋圆变为特例——圆，当u → 0 时蛋圆越来越矮胖，当u →∞时蛋圆越来越瘦长。

由于蛋圆（1）是已知唯一的三参数蛋圆曲线，调节a、b、k三个参数比例，可以无限逼近符合定义的任何蛋圆，包括获得比椭圆方程式更精确地逼近真实的地球外形方程式。

图6：计算机绘制的立体蛋圆——蛋球面

（方程式为：（x^2 + z^2) /16 + y^2/(0.2y +5)^2= 1）