深入浅出解析微分、求导与积分间联系，揭示关键公式奥秘

大家好，今天给各位分享深入浅出解析微分、求导与积分间联系，揭示关键公式奥秘的一些知识，其中也会对进行解释，文章篇幅可能偏长，如果能碰巧解决你现在面临的问题，别忘了关注本站，现在就马上开始吧！

老黄要用最通俗的语言告诉你，微分，求导和不定积分之间的关系。这是一个困扰很多人的问题，如果老黄讲得不好，欢迎批评讨论。当然最重要的其实是最后归纳出来的一个公式。

求导分为求导数值和求导函数两类，求导数值，其实就是求函数图像在某点切线的斜率k。显然在这个点必须存在切线，然后才会有斜率k的问题。注意，切线存在，有可能斜率是无穷大，这时导函数就没有意义。

而只要k是一个有限值，那么导函数表示的就是它关于自变量x的函数。即，k=f\'(x)。我们习惯记成y=f\'(x)的形式. 或者直接用y\'表示.

求导的方法是通过对自变量x进行微分实现的，自变量的微分记为dx。在对自变量进行微分时，函数也同时会被微分，记为dy。从而就得到了导函数的微分形式f\'(x)=dy/dx。我们称它为微商。微商其实是差商的极限，这就回到了导数的定义了。

所以，可以说微分是求导的一种方法，并不是说微分等于求导。

积分嘛，顾名思义，就是把微分的结果，重新堆积起来，你想想啊，上面你把原函数切成无穷多的小细块，再把它们重新堆积起来，不还是原函数吗？但是，这个时候就回不到原来的位置上去了，因为竖直的位置变得无法确定，所以我们把这类积分称为不定积分。以后还会讲到定积分 ，那又是另一回事了。定积分同样是堆积起来的，但侧重点不同。

因此，我们可以说积分是微分的一种延续，而不定积分和求导是互逆的过程。

根据三者的关系，我们可以得到下面四个公式。

证明：(1)(∫f(x)dx)’=f(x); (2)∫f’(x)dx=f(x)+C;

(3)d(∫f(x)dx)=f(x)dx; (4)∫df(x)=f(x)+C.

解释：(1)不定积分求导的结果是被积函数；

(2)导函数积分的结果是一个包含原函数的函数族，竖直方向的位置无法确定，所以用加上常数C来表示；

(3)最后一个公式最重要，它指的是，对微分再积分，得到原函数所在的函数族。

这些公式都比较难证明，因为它们都过于抽象，但是越困难的事情，越有挑战性，老黄就越喜欢。

证：根据不定积分的定义，知f(x)存在原函数,

设f(x)的原函数为F(x)+C, 即∫f(x)dx=F(x)+C.【这一点是各个公式的基础】

(1)∵(F(x)+C)’=f(x), ∴(∫f(x)dx)’=f(x).

(2)∵(f(x)+C)’=f’(x), ∴∫f’(x)dx=f(x)+C.

(3)d(∫f(x)dx)=d(F(x)+C)=dF(x)=F’(x)dx=f(x)dx.

(4)∵df(x)=f’(x)dx, ∴∫df(x)=∫f’(x)dx=f(x)+C.

我们经常会利用最后一个公式来求一些不定积分，比如：

例：利用∫df(x)=f(x)+C，求∫sinxcosxdx.

解：∵dcos2x=-2sin2xdx=-4sinxcosxdx,

∴∫sinxcosxdx=-1/4*∫-4sinxcosxdx=-1/4∫dcos2x=-1/4*cos2x+C.

想要知道对不对，对这个结果求导，看看导数是不是原来的被积函数就可以了。当然，在你熟练的情况下，过程是可以写得更加简略的。现在你对微分，求导和积分的关系，有更深的理解了吗？

用户评论

发呆

讲得简单易懂！终于明白了微分、求导和积分之间的关系。

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逾期不候

我一直对数学公式感到困惑，这篇分析真的很管用!

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醉婉笙歌

原来它们之间是这么密切的联系啊，很有意思。

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别伤我i

通俗的语言解释，终于让枯燥的数学变得容易理解。

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见朕骑妓的时刻

想要学好微积分，这篇文章太重要了！

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男神大妈

分享到朋友圈给我的小伙伴们看，他们也都在学习微积分呢！

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别悲哀

这个公式看起来很复杂，但文章解释得很清楚。

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柠夏初开

看完以后感觉数学变得更有“神”的感觉了！

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江山策

原来微分、求导和积分竟然这么简单！太棒了！

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非想

终于理解了为什么这些概念都那么重要。

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沐晴つ

现在可以用通俗的语言去解读数学公式了，很棒啊！

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醉枫染墨

对数学感兴趣的朋友们一定要看一看这篇文章！

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水波映月

学习微积分简直是打开了新的大门！

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淡抹烟熏妆丶

之前感觉微积分很难以捉摸，现在终于明白过来了。

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如你所愿

文章的分析让我对微积分有了更深的理解。

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尘埃落定

可以把它作为学习微积分的入门指南了！

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枫无痕

这篇文章揭示了数学世界隐藏的奥秘！

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夜晟洛

通俗易懂的讲解，赞一个！

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孤街浪途

对于初学者来说，这篇分析文章非常有帮助。

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