探索宇宙奥秘：揭秘开普勒三大定律及其新时代意义

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16世纪，丹麦天文观测者第谷·布拉赫在仙后座发现了一颗新星。他连续观察了十多个月，看到了这颗恒星从明亮到消失的过程，这打破了历史记录。 “恒星”学说。我们现在知道，这并不是一颗新恒星的形成，而是一颗恒星微弱到几乎看不见，在消失之前爆炸的过程。

第谷试图通过精确的恒星位置测量来发现恒星的视差效应，即地球运动引起的恒星方位的变化，但一无所获。于是他开始反对哥白尼的地震理论，提出了这样一个宇宙体系：地球静止在宇宙中心，行星绕着太阳转，太阳带动行星绕着地球转。 17世纪初，他的学说传入中国后一度被接受。

第谷去世后，他的助手开普勒利用第谷多年积累的观测数据，经过认真分析研究，提出了行星运动三大定律，即开普勒三定律，为牛顿万有引力定律奠定了基础。

1609年，开普勒在《新天文学》中提出了他的前两条行星运动定律。第一定律是关于行星绕太阳运行的轨道的定律。人们认为，每颗行星的轨道都是一个椭圆，而太阳位于这个椭圆轨道的焦点上。第二定律是关于行星速度的定律。它认为行星与太阳之间的距离有时较近，有时较远。距离太阳最近的地方速度最快。相反，距离太阳最远的地方速度最慢。行星和连接太阳的线在相同的时间内扫过相同的面积。十年后，他发表了行星运动第三定律，认为行星距离太阳越远，其轨道周期越长，其轨道周期的平方与距太阳距离的立方成正比。此外，开普勒还推测，彗星的尾巴总是背向太阳，因为有太阳风将其吹走。这是第一次涉及光压领域的讨论。

开普勒定律展现了科学思维中极其勇敢和创造性的精神。早在哥白尼建立日心宇宙体系之前，许多学者就对天地运行的概念提出了不同的看法。但没有人敢怀疑天体遵循完全均匀的圆周运动这一观点。开普勒断然否认了这一点。这是一个非常大胆的想法。哥白尼知道几个圆可以组合成一个椭圆，但他从未用椭圆来描述天体的轨道。正如开普勒所说，“哥白尼并没有意识到财富触手可及”。开普勒定律彻底摧毁了托勒密本轮体系，将哥白尼体系从本轮的束缚中解放出来，并使其具有充分的完整性和严密性。哥白尼放弃了古希腊人的先入之见，即天地之间的本质区别，并得出了一个简单得多的系统。但仍然要用三十多个圆圈来解释天体的视运动。开普勒发现了最简单的世界体系，并仅用七个椭圆就解决了这一切。从此，行星的运动可以简单而准确地计算出来，而无需任何本轮和偏心圆的帮助。开普勒定律让人们对行星运动有了清晰的认识。它证明了行星世界是一个匀称的（开普勒所说的“和谐”）系统。这个系统的中心体是太阳，由太阳的某种统一力量控制。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星的轨道周期由每个行星与太阳之间的距离决定，无论其质量如何。

当时的地心说和日心说都认为行星做匀速圆周运动。但开普勒发现，对于火星的轨道，根据哥白尼、托勒密和第谷提供的三种不同方法，即使经过多年的苦思冥想和苦心数学计算，其结果与第谷的实际观测结果不一致，因此他给出了提出了火星做匀速圆周运动的概念，并试图用其他几何图形来解释它。

1609 年，他发现椭圆形完全符合这里的要求，并且可以进行同样准确的解释。最终，开普勒意识到了这个问题：他和第谷、哥白尼以及所有古典天文学家一样，假设行星轨道是由圆或复合圆组成，但实际上行星轨道不是圆形的。不过是椭圆形的。这样，开普勒导出了“开普勒第一定律（轨道定律）”：火星以椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于两个焦点之一。 “发现行星沿着椭圆轨道运动，需要智慧和毅力，摆脱传统观念。历代天文学家，包括哥白尼和伽利略，都坚持认为天体是完美的物体，圆形是完美的形状，所有的天体都在运动。”第谷的精确观测和开普勒的努力终于将日心说向前推进了一大步，然后，开普勒发现火星在接近太阳（近日点）时速度并不均匀，并且移动得更快。离太阳越远（远日点），速度越慢，但从任意点开始，径向（连接太阳中心与行星中心的线）所扫过的面积都是相等的。这就是“开普勒第二定律（面积定律）”，这两条定律发表在书《新天文学》（又名《论火星的运动》）中，其中也规定了这条定律也适用于其他行星的运动。月亮。

周期律的发现更加困难。开普勒克服了不利的工作环境和多年的身心疲惫。经过长期复杂的计算和无数次的失败，他终于建立了行星运动第三定律（周期律）：行星绕太阳运行。公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。研究结果发表在1619年出版的书《宇宙谐和论》中。

开普勒定律对亚里士多德和托勒密在天文学和物理学方面提出了巨大的挑战。他主张地球在不断地运动；行星的轨道不是本轮，而是椭圆；并且行星公转的速度不是恒定的。这些论点极大地震动了当时的天文学和物理学界。经过近一年、几个世纪的研究，物理学家终于能够用物理理论来解释真相。牛顿用他的第二定律和万有引力定律，从数学上严格证明了开普勒定律，让人们理解了它的物理意义。完善并简化了哥白尼的日心说。

开普勒第一定律，也称为椭圆定律：每颗行星都沿着自己的椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。开普勒第二定律，又称面积定律：在相同的时间内，太阳和运动行星的连线所扫过的面积相等。该定律实际上揭示了行星绕太阳运行时角动量守恒。用公式表示为

开普勒第三定律，也称为调和定律：各行星绕太阳公转周期的平方与其椭圆轨道的半长轴的立方成正比。

从这个定律不难得出：行星与太阳之间的引力与半径的平方成反比。这是牛顿万有引力定律的重要基础。

开普勒定律是关于行星绕太阳运动的，而牛顿定律更广泛地是关于几个粒子由于万有引力而运动的。在只有两个粒子的特殊情况下，其中一个比另一个超轻，较轻的粒子将围绕较重的粒子移动，就像根据开普勒定律行星绕太阳移动一样。然而，牛顿定律允许其他解决方案，并且行星轨道可以抛物线或双曲线移动。这是开普勒定律无法预测的。在一个粒子不比另一个粒子超轻的情况下，每个粒子根据广义二体问题的解围绕其共同质心移动。这也是开普勒定律无法预测的。

开普勒第一定律的证明

假设太阳和行星的质量分别为M和m，以平面极点为标准系，行星的位置用(r,)描述。如图所示，行星位置矢量为垂直单位矢量。

行星对太阳的引力为F=-(GMm/r)r

首先证明行星必须在同一平面内运动，有牛顿第二定律：F=m(dv/dt)

力矩rF=-(GMm/r)rr=0。即，r(dv/dt)=0。

积分，我们得到rv=h（常数向量）

上式表明，行星的径向矢量r始终与常数矢量h正交，因此行星必须在同一平面内运动。

为了获得行星运动的轨迹，采用图中的平面极坐标方向

，以静止的太阳为极点o，行星位置为(r,)。在平面极坐标中，与行星运动有关的物理量如下：

就去r=rr r;速度v=dr/dt=(dr/dt) r+r (d/dt)

r 是径向单位矢量，是径向垂直单位矢量。

ddr/dt 是径向速度分量，r (d/dt) 是横向速度分量

速度满足v=(ddr/dddt)+( r(d/dt))

动量mv=m(dr/dt)+m(r(d/dt))

角动量L=rmv=m·r(d/dt)·(r)

得到L=m•r•(d/dt)

太阳对行星的引力指向o点，所以o点处的力矩M=0。根据角动量定理，角动量守恒。 L 是常数

太阳行星系统的机械能守恒，假设系统总能量为E，则

因为/dt=L/mv ddr/dt=(L/mv)(dr/d)代入上式

将上面两个方程乘以m/L 得到

为了简化公式，令=1/r。那么dr/d=-r(d/d)

所以方程变为(dr/d)+-2GmM/L=2mE/L

关于推导上述方程。并注意E 和L 是常数。必须

开普勒第二定律的证明

开普勒第二定律指出：在相同的时间内，连接行星和恒星的线所扫过的面积相等。 O是恒星，直线AC是行星在没有重力的情况下的运行轨迹。假设行星从A到B和从B到C所用的时间间隔t相等，A处的时间为t1，B处的时间为t2，C处的时间为t3。现在假设行星不受O 引力的影响，则扫掠面积SABO 和SBCO 相等（相等的底数和相等的高度）。现在行星受到了重力的影响，因为重力的方向始终指向恒星，所以在t1到t3这段时间里，重力方向对行星的总影响应该是沿着BO方向（这需要一点向量知识）。因此，t3时刻行星的位置C’应该通过两个向量相加得到：向量AC+向量CC’（假设CC’与BO平行，因此沿BO方向的向量相当于CC’）。这样，SBCO=SBC’O（同底等高）。因此，SBC’O=SABO。因为t 是任意的，所以连接行星和恒星的线在相同的时间内扫过相同的面积。

开普勒第三定律的证明

图中，A、B分别为行星的近日点和远日点。 Va 和Vb 分别代表行星在该点的速度。由于速度是沿着轨道的切线方向，所以可以看出Va和Vb的方向都是这个椭圆的长度。轴垂直，则行星在这两点对应的面速度分别为

根据开普勒第二定律，SA=SB，所以我们得到

行星运动的总机械能E等于其动能和势能之和。那么当它经过近日点和远日点时，其机械能应分别为

根据机械能守恒定律，应有EA=EB，故可得

可以通过两个方程{2}{4} 求解

根据方程{5}和{1}，面积速度为

椭圆的面积为(wu ab)，则行星运动周期为

T=（兀ab）/S=2兀aa/(GM)……………………{6}

将式(6)两边平方得到：

(a)^3/(T)^2=(GM)/4(兀)^2

科学史上的许多科学发现都是由于利用了前人进行的科学实验和记录的数据。但像行星运动规律的发现一样，从第谷二十多年的勤奋观测到开普勒长期的缜密计算，科学合作之路如此艰难，成果如此辉煌，实属罕见。这一切都是在没有望远镜的情况下实现的。

开普勒三定律是天文学的另一场革命。它彻底摧毁了托勒密复杂的本轮宇宙体系，完善和简化了哥白尼的日心说宇宙体系。开普勒对天文学的最大贡献是他试图建立天体动力学并从物理基础解释太阳系结构的动力学原因。虽然他提出太阳发出的磁力驱动行星绕轨道运行的观点是错误的。但对于后人寻找太阳系结构之谜具有重大的启示意义。也为经典力学的建立和牛顿万有引力定律的发现提供了重要提示。

太阳是宇宙的中心，地球也像其他行星一样绕着太阳运行。 16世纪的天文学家哥白尼以其大胆的见解，提出了引领时代的太阳系新理论，从而带来了一场技术革命。但直到半个世纪后，德国数学家开普勒才利用丹麦天文学家布迪乔·布拉赫提供的观测数据绘制出了第一张准确的太阳系地图。开普勒的工作巩固了哥白尼的理论。他独自一人工作，最终利用第谷·布拉赫的观测数据准确地解释了行星的运动。他的成就在他生前并未得到认可，但他的见解仍然是现代宇宙理论的基础。

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